Komplexe Zahlen kartesisch darstellen. Von e^{-2πi} / e^{25 πi/6} zu e^{-πi/6}?

Question

Wie komme ich von:

\( \frac{2^{8} e^{-2 \pi i}}{2^{5} e^{\frac{25 \pi i}{6}}} \)

zu:

\( 8 e^{-\frac{\pi}{6} i} \)

Wobei ich auf die 8 auch komme. Nur das e hoch nicht.

eigentlich mache ich doch das obere e minus das untere e. Aber da komm ich auf -37/6.

Answer 1

Rechne das nach Potenzgesetzen.

e^ a/ e^ b = e^{a-b}

und berücksichtige, dass nach Definition e^{2πi} = 1

Damit so oft multiplizieren, bis der Exponent vernünftige Grösse hat.

e^{-2πi} / e^{25 πi/6}
= e^{-2πi - 25πi/6}    

= e^{-37πi/6}        *e^{2πi}
= e^{-25πi/6}     *e^{2πi}
= e^{-13πi/6}    *e^{2πi}
=e^{-πi/6}

Das ist nun aber immer noch die Polardarstellung und nicht die kartesische Darstellung.

Comments

Warum muss ich da etwas multiplizieren?

Warum kann ich nicht das eine minus das andere rechnen?

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Multplikation mit 1 erst im Nachhinein nötig. Du willst ja nicht einen Winkel von z.B. -600° rausbekommen.

Vom roten Resultat der Subtraktion im Exponenten kommst du vielleicht auch in einem Schritt zum Resultat (?) ;)

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Hm... verstehe ich leider nicht ganz.

Warum kann ich nicht:

-2PI-25PI/6
rechnen?

So heißt es doch laut Definition.


Oder?


Vielleicht kannst du s noch mal für doofies erklären :D

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-2πi -25πi/6 = -12πi/6 - 25πi/6 = -37πi/6      (oben inzwischen rot)

Das geht 3 und ein wenig mal im Uhrzeigersinn um den Ursprung. Das 'wenig' das bleibt sind dann -πi/6.