Beweis Studium Mathe

Question

Aufgabe: Beweisen Sie:
Seien ganze Zahlen a, b, q und r gegeben, die a = qb + r erfullen. Dann gilt ggT(a ¨ , b) = ggT(b,r).
Hinweis: Nutzen Sie die Summenregel der Teilbarkeitsrelation

Answer 1

Den ggt von a und b bezeichnen wir mal mit t.

Dann gilt a=c*t und b=d*t mit ggt(c,d)=1.

Soweit klar?

Die Gleichung

a = qb + r

wird somit zu

c*t = q*d*t + r

bzw.

c*t - q*d*t = r

bzw.

(c-q*d)*t = r.

Da t ein Teiler der linken Seite ist, muss t auch ein Teiler der rechten Seite sein.

Der ggt von a und b ist also ein Teiler von r.

Offen ist noch, warum t jetzt nicht irgendein gemeinsamer Teiler von b und r ist, sondern sogar der GRÖßTE gemeinsame Teiler von b und r.

Comments

Ja super, das hilft mir aufjedenfall weiter vielen Dank!