Hallo,
Sowohl die Trapez-Regel als auch die Simpson-Formel ermitteln näherungsweise den Wert eines Integrals. Hier sind drei Stützstellen gegeben:$$f(0)^2 = 8^2 = 64 \\ f(20)^2 = 10^2 = 100 \\ f(40)^2 = 6^2 = 36$$Bei drei Stützstellen hat man zwei Segmente und nach der Trapezregel ist$$\begin{aligned}\int_0^{40} f(x)^2\,\text dx &\approx \frac {20}2(64+100) + \frac{20}2(100+36) \\&= 1640+ 1360 = 3000\end{aligned}$$und wenn man die gleichen drei Werte in die Simpson-Formel einsetzt, erhält man$$\begin{aligned}\int_0^{40} f(x)^2\,\text dx &\approx \frac{40}{6}(64 + 4\cdot 100 + 36) \\&= \frac{20000}6 \approx 3333\end{aligned}$$Multipliziert mit \(\pi\) gibt das einmal ein Volumen von \(V_T \approx 9,42 \,\text l \) und einmal \(V_S\approx 10,47\,\text l\).
Hier noch mal ein Vergleich der beiden Graphen der Näherung von \(f(x)^2\), die von Trapez- (blau) und Simson-Formel (rot) berechnet werden.
~plot~ [[-5|45|-5|105]];(9x/5+64)*(x>0)*(x<20)+(-16(x-20)/5+100)*(x>20)*(x<40);-x^2/8+4.3x+64 ~plot~
Das Integral ist dann jeweils die Fläche unter der Kurve im Intervall \(x=0\) bis \(x=40\).
Welches Ergebnis davon nun näher an der Wahrheit liegt, lässt sich nur beantworten, wenn man weiß wie die Vase wirklich aussieht. Besteht sie aus zwei zusammengesetzten Kegelstümpfen - so wie hier
oder ist sie eher bauchiger Natur
Die untere Vase hat natürlich ein etwas größeres Volumen.
Beide Volumina lassen sich auch exakt berechnen. Wobei das Profil der bauchige Vase durch eine Parabel approximiert wurde. Das führt dann zu folgenden Graphen von \(f(x)^2\)
~plot~ (64+8x/5+x^2/100)*(x>0)*(x<20)+(196-28x/5+x^2/25)*(x>20)*(x<40);[[-5|45|-5|105]];((((9x/160000-3/800)*x-23/400)*x+4)*x+64) ~plot~
Wohlgemerkt(!) es ist der Verlauf von \(f(x)^2\) und nicht das jeweilige Profil der Vase. Die Stücke des blauen Graphen sind Parabeln und die rote Kurve ist vom Grad 4.
Die keglige Vase hat ein Volumen von \(V_k \approx 9,22\,\text l\) und die bauchige von \(V_b \approx 10,32\,\text l\), was wiederum nur wenig unterhalb der Näherungslösung liegt.
Gruß Werner