Gaußscher Satz mehrdimensionale partielle Integration

Question

Hallo, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Aufgabe:

Text erkannt:

(a) Aus dem in der Vorlesung hergeleiteten Gaußschen Satz kann man nachstehende Formeln für die mehrdimensionale partielle Integration herleiten:
\( \int \limits_{V} h(\vec{x}) \frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_{j}} d \vec{x}=\int \limits_{\partial V} h(\vec{x}) f(\vec{x}) n_{j}(\vec{x}) \mathbf{d f}(\vec{x})-\int \limits_{V} f(\vec{x}) \frac{\partial h(\vec{x})}{\partial x_{j}} d \vec{x}, \quad(j=1, \ldots, 3) \)
Erläutern Sie wie man zu diesen Relationen kommt.

Problem/Ansatz:

Ich finde keinen Ansatz für die Aufgabe.

Das letzte Integral ist ja wie das erste, nur h und f sind vertauscht.

Wenn man das auf die LHS bringt, ...?

Oder mit der Formel zur partiellen Integration?

Aber wie komme ich dann zum Gaußschen Satz?

Danke für die Hilfe!

Comments

Hallo,

was ist für Euch der "Gaußsche Satz", also welche Variante, welche Formulierung?

Gruß Mathhilf

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∫∫ Φdf= ∫∫∫ div Φ dV denke ich

aber wir hatten auch noch die Form für die Ebene

Answer 1

Hallo,

ich vermute mal, dass \(\Phi\) hier ein Feld sein soll, also \(\Phi:V \to \mathbb{R}^3\). Dann erhält man die gesuchte Formel durch folgende Wahl von \(\Phi\):

$$(\Phi(x))_j:=h(x)f(x), \quad (\Phi(x))_i=0 \text{  sonst}$$

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank!