Berechnen Sie z^4 für z= 1+√3 *i Komplexe Zahlen

Question

Berechnen Sie z⁴ für z= 1+√3 *i und geben Sie das ergebnis als x+iy an.

Bedeutet das, das ich die Formel von Moivre anwenden soll? Ich bin unsicher und die x+iy Darstellung hat nur ungerade gebrochene Zahlen.

Und vielleicht kann mir jemand ein effizienteres Vorgehen vorschlagen.

 

Mein Vorgehen:

1. IzI = √1²+√3² = √4 = 2

2. φ = arct (√3/1) = 1/3 π

Allgemein: z = 2 * e^i*1/3pi

3. Satz von Moivre = n-te √r * e ^{i * ( _φ +2*k*pi)}

z₀= 4-te √2 * e^i*1/12pi

z₀ = 4-te √2 * cos(1/12pi) = 4-te √2 * ((√6+√2)/4)) + i * 4-te √2 * ((√6-√2)/4)) = x + i*y

 

Das habe ich dann bis z₃ gemacht...

Comments

oder bedeutet die Aufgabe, das ich NUR für Z₃ das Ergebnis angeben soll?

Bei einer anderen Aufgabe steht, ich soll sämtliche Lösungen für z³ = 8 angeben. Dann soll ich also Z₀ bis Z₃ ausrechnen?!

Answer 1

Warum so kompliziert?

( 1 + √3 * i ) ⁴

= ( 1 + 2 √3 * i - 3 ) ²

= ( - 2 + 2 √3 * i ) ²

= 4 - 8 √3 * i - 12

= - 8 - 8 √3 * i

Answer 2

 z = 1 + √3*i

z^2 = (1 + √3*i) * (1 + √3*i) = 3·i^2 + 2·√3·i + 1 = - 3 + 2·√3·i + 1 = 2·√3·i - 2

z^4 = (z^2)^2 = (2·√3·i - 2) * (2·√3·i - 2) = 12·i^2 - 8·√3·i + 4 = - 12 - 8·√3·i + 4 = - 8·√3·i - 8