Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.

Question

Aufgabe:

Die Punkte A, B, C und D sin din dieser Reihenfolge die Eckpunkte eines Parallelogramms. A (2; -1; 2) B (-2; 3; 6) C (2; 6; 6)

1.) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.

2.) Weise Sie nach, dass sich die Diagonalen des Parallelogramms ABCD im Punkt M (2; \( \frac{5}{2} \); 4) schneiden.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich erstens und zweitens?

Answer 1

Berechne Ortsvektor von D = C + Vektor (BA)

Und wenn M der Diagonalenschnittpunkt ist gilt

AB + BM + MA =0-Vektor  .

Comments

Und wenn M der Diagonalenschnittpunkt ist gilt
AB + BM + MA =0-Vektor .

Das gilt auch, wenn M irgendein anderer Punkt ist.

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Der Punkt D ist also: \( \begin{pmatrix} 6\\2\\2 \end{pmatrix} \)

Und um zu beweisen dass sie sich schneiden:

\( \begin{pmatrix} -4\\4\\4 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 4\\-\frac{7}{4}\\-2 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 0\\-\frac{9}{4}\\-2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

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Ich würde zwei Geradengleichungen für die Diagonalen aufstellen und den Schnitttpunkt berechnen.

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Oh ja, da war mein Ansatz doch etwas zu einfach.

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Die Geradengleichung für BM und MA?

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Nein für AC und BD.

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Für die Gerade AC habe ich:

g:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) + s \( \begin{pmatrix} 0\\7\\4 \end{pmatrix} \)

Und für BD

g:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} -2\\3\\6 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} 8\\-1\\-4\end{pmatrix} \)

heraus.

Und jetzt?

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Gleichsetzen und s und t ausrechnen.

Gibt 1/2 und -1/2. Die dann für s und t einsetzen.

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Für s habe ich \( \frac{1}{2} \) und für t auch. Wie kommst du auf - \( \frac{1}{2} \)?

Und wenn ich das dann eingesetzt habe was mache ich danach?

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s und t sind beide 0,5

Du setzt die Werte in die Geradengleichungen ein und erhältst jeweils den Schnittpunkt M.