Stochastik 3 (Stochastische Prozesse)
Aufgabe 1-1:
Die ZVen \( X_{n} \) seien definiert als die in \( n \) Würfen eines fairen Würfels erzielte maximale Augenzahl, d.h.
\( X_{n}=\max \left\{Y_{1}, \ldots, Y_{n}\right\} \)
mit \( Y_{i}= \) Augenzahl im \( i \) -ten Wurf. Zeigen Sie, daß die \( X_{n} \) eine Markov-Kette bilden und geben Sie die Matrix der Übergangs-Wahrscheinlichkeiten an.
Aufgabe 1-2:
Es sei \( S_{n} \) eine einfache symmetrische Irrfahrt mit \( S_{0}=0 \). Zeigen Sie, daß \( \left|S_{n}\right| \) eine Markov-Kette ist und bestimmen Sie die Übergangsmatrix. Sei \( M_{n}=\max \left\{S_{k}\right\} \). Zeigen Sie, daß auch der Prozeß
\( Y_{n}=M_{n}-S_{n} \)
eine Markov-Kette bildet.
Quelle: http://www-lm.ma.tum.de/archiv/ws034/st3/aufgaben/blatt01.pdf
