Aufgabe zur Markovprozessen:
Sei \( (X_k)_{k\in \mathbb N} \) eine Familie identisch verteilter unabhängiger \( \{-1,1\} \) - wertiger Zufallsvariablen:
$$ P(X_k=1) = p \quad \quad P(X_k=-1)=1-p=: q \quad , k \geq 1 \quad , p \in [0,1] $$
p+q=1. Wir setzten S_0=0 und \( S_n= \sum_{i=1}^n X_i \).
(1) Zeigen Sie, dass $$ p_{n+1,k}:= P(S_{n+1}=k|S_0 =0)= p \cdot p_{n,k-1} + q\cdot p_{n,k+1} ,\quad p_{0,0=1} , \quad p_{0,k}=0 \quad k\neq 0$$
Ich kann die Definition einsetzen, sehe aber dann nicht wie ich weiter machen soll.
(2) n+k gerade und |k| ≤ n
$$ \begin{bmatrix} n+1 \\ (n+k+1)/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ (n+k-1)/2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n \\ (n+k+1)/2 \end{bmatrix} $$ hier weiß gar nicht weiter..
(3) Daraus soll man jetzt folgendes schließen:
$$ p_{n,k} = 0 , \quad n+k \text{ ungerade oder } |k|> n \\ p_{n,k} = \begin{bmatrix} n \\ (n+k)/2 \end{bmatrix} p^{(n+k)/2} (1-p)^{(n-k)/2} \quad n+k \text{ gerade und } |k|< n $$
Soll die Gleichung in (1) und die Randbedingungen erfüllen.
