Wie kann man die Potenzmengen nachweisen?

Question

Aufgabe:

Die Potenzmenge β(M)einer Menge M ist definiert als die Menge aller Teilmengen von M:

β(M) :={N|N⊂M}.

Beispielsweise ist β(∅) ={∅}, und β({0,1}) ={∅,{0},{1},{0,1}}.

Weisen Sie nach, dass die Potenzmenge einer Menge stets mächtiger ist als die Menge selbst, indem Sie zeigen:

(a) Für jede Menge M existiert eine Injektive Abbildung M→β(M), aber

(b) Für keine Menge M existiert eine bijektive Abbildung M→β(M).

Problem/Ansatz:

Die Aufgaben sind Übungsaufgaben, um das Thema zu vertiefen aber mir fehlt da jeglicher Ansatz, da ich mit dem Thema noch nicht ganz vertraut bin.

Answer 1

(a) \(\varphi: M\to\mathfrak{P}(M), m\mapsto \{m\}\) ist injektiv.

(b) Sei \(\psi: M\to\mathfrak{P}(M)\).

Sei \(T \coloneqq \{m\in M | m\notin \psi(m)\}\).

Dann ist \(\psi(m)\neq T \) für alle \(m\in M\). Also ist \(\psi\) nicht surjektiv.