Potenzmengen, Mengenalgebra. Wieviele Elemente enthält diese Potenzmenge?

Question

Hallo nochmal diesmal mit einer anderen Frage.

Aufgabe:

Sei A eine endliche Menge mit n := |A| vielen Elementen. Wie viele Elemente enthält die Potenzmenge P(A)? Begründen Sie Ihre Antwort!

Problem/Ansatz:

Uns wurde auch gleich die Lösung mitgegeben. Diese lautet wie folgt:

Die Potenzmenge P(A) von A enthält genau 2ⁿ viele Teilmengen von A. Denn
wenn man eine Teilmenge von A bilden möchte, so kann man sich für jedes der n Elemente
von A überlegen, ob es zu der Teilmenge dazugehören soll oder nicht. Wenn man nur bei einem
Element eine andere Entscheidung trifft, kommt eine weitere Teilmenge von A dabei heraus.
Also gibt es insgesamt
2 · 2 · . . . · 2 } = 2ⁿ
        n–mal
viele Möglichkeiten zur Bildung einer Teilmenge von A.

Ich verstehe jedoch nicht diese Lösung nicht wirklich. Die Potenzmenge ist ja die Menge aller Möglichkeiten von A. Z.B bei A = {2} wäre P(A)={},{2}. Könnte mir jemand der das verstehen vielleicht ein Beispiel einer solchen Teilmenge (auf die Aufgabe hinbezogen) geben? Was ist mit "Wenn man nur bei einem
Element eine andere Entscheidung trifft, kommt eine weitere Teilmenge von A dabei heraus." gemeint?

Mit freundlichen Grüßen

naili

Answer 1

Hallo

stell dir vor du hast die Menge aller Teilmengen auf einem Haufen vor dir liegen, dann sortierst du sie: ist das Element 1 drin oder nicht dann hast du 2 Haufen, die sortierst du wieder beide auseinander: ist das 2 te Element drin oder nicht, Ergebnis 4 Haufen, die sortier nach 3. El drin oder nicht, gibt 8=2^3 Haufen usw. wenn du beim n ten Element angekommen bist hast du 2^n "Haufen" allerdings ist jeder Haufen auf eine Menge geschrumpft, denn bei jedem sortieren werden die häufen ja kleiner,

Gruß lul

Comments

Achsoo. Okay ja das ergibt Sinn. Danke für die schnelle und einfache Antwort! Ich habs mir viel komplizierter vorgestellt ^^

Answer 2

Aloha :)

Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen. Aus einer n-elementigen Menge kannst du \(\binom{n}{0}\) 0-elementige Teilmengen wählen (dies ist die leere Menge). Du kannst \(\binom{n}{1}\) 1-elementige Teilmengen wählen, \(\binom{n}{2}\) 2-elementige Teilmengen... Daher ist die Anzahl aller Teilmengen:$$\#P=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots\binom{n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}$$Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes kannst du die Summe sofort hinschreiben, denn:$$\#P=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot1^k=(1+1)^n=2^n$$Wir prüfen das mal nach an der Menge \(M:=\{A,B,C,D\}\):

0-elementige Teilmengen: \(\{\}\)

1-elementige Teilmengen: \(\{A\},\{B\},\{C\},\{D\}\)

2-elementige Teilmengen: \(\{A,B\},\{A,C\},\{A,D\},\{B,C\},\{B,D\},\{C,D\}\)

3-elementige Teilmengen: \(\{A,B,C\},\{A,B,D\},\{A,C,D\},\{B,C,D\}\)

4-elementige Teilmengen: \(\{A,B,C,D\}\)

Wir haben \(n=4\) Elemente und \(2^4=16\) Teilmengen.

Comments

Hallo

der Frager wollte aber seinen Text erklärt haben! Auch wenn dein Weg üblicher ist.

Gruß lul