Ausrechnen der Vielfachheit von Nullstellen?

Question

Aufgabe:

Wie findet man heraus, welche Vielfachheit eine Nullstelle hat?

Problem/Ansatz:

Bei der Gleichung f(x)= -x^3 - 4x^2 - 4x. Die Nullstellen habe ich bereits ausgerechnet.

N1 (0/0) N2 (-2/0). Also meine Frage, wie finde ich heraus, welche Vielfachheit diese Nullstellen haben?

Answer 1

wie finde ich heraus, welche Vielfachheit diese Nullstellen haben?

Faktorisieren

N1 (0/0)

Hast du vermutlich durch Ausklammern von x gefunden. Vielfachheit ist 1.

Hättest du x⁵ aber nicht x⁶ ausklammern können, dann wäre die Vielfachheit 5.

N2 (-2/0)

Kommt aus der Lösung der quadratischen Gleichung

        -x² - 4x - 4 = 0.

Quadratische Gleichungen haben keine Lösung oder zwei Lösungen der Vielfachheit 1 oder eine Lösung der Vielfachheit 2. Den Term -x² - 4x - 4 kann man faktorisieren:

       - (x- (-2))².

Die Vielfachheit kommt vom Exponenten. Hättest du Lösungen 3 und -7, dann sähe wäre die Faktorsierung

        (x-3)·(x - (-7))

und es gäbe nur 1 als Exponent.

Answer 2

f(x)=-x^3 - 4x^2 - 4x

f´(x)=-3x^2-8x-4

3x^2+8x=-4|:3

x^2+\( \frac{8}{3} \)x=-\( \frac{4}{3} \)

(x+\( \frac{4}{3} \))^2=-\( \frac{4}{3} \)+\( \frac{16}{9} \)=\( \frac{4}{9} \)|\( \sqrt{} \)

1.) x+\( \frac{4}{3} \)=\( \frac{2}{3} \)

x₁=-\( \frac{2}{3} \) →f(-\( \frac{2}{3} \))>0 also ist es keine Nullstelle

2.) x+\( \frac{4}{3} \)=-\( \frac{2}{3} \)

x₂=-2  →  f(-2)=-(-2)^3 - 4(-2)^2 - 4(-2)=0 ist somit eine Nullstelle

f´´(x)=-6x-8

f´´(-2)=-6(-2)-8=4>0→ Minimum →doppelte Nullstelle.

x= 0 ist eine einfache Nullstelle

Answer 3

f(x) = - x^3 - 4·x^2 - 4·x

-x als Faktor Ausklammern

f(x) = -x·(x^2 + 4·x + 4)

1. binomische Formel anwenden

f(x) = -x·(x + 2)^2

Hier direkt die Nullstellen, Vorzeichenwechsel und die Vielfachheit ablesen

x = 0 ist einfache Nullstelle von plus nach minus

x = -2 ist doppelte Nullstelle von minus nach minus