Vielfachheit der Nullstellen charakteristisches Polynom ohne Polynomdivision

Question

Ich suche eine schnellere Methode um Vielfachheit an Nullstellen herauszubekommen. Ich brauche die Vielfachheit der Nullstellen beim charakteristischen Polynom

\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}-7-\lambda & 4 & 4 \\ 4 & -1-\lambda & 8 \\ 4 & 8 & -1-\lambda\end{array}\right) \)

\( =-\lambda^{3}-9 \lambda^{2}+81 \lambda+729 \)

Nullstellen:

\( =-\lambda^{3}-9 \lambda^{2}+81 \lambda+729 \)

\( \Rightarrow \lambda_{2}=-9 \)

Problem/Ansatz:

Bisher löse ich das per Nullstelle raten und Polynomdivision und da diese Methode viel Zeit kostet möchte ich wissen ob jemand einen Trick kennt um die Vielfachheit schneller zu bestimmen?

Comments

Wenn zwei von drei Eigenwerten bereits bekannt sind, lässt sich der dritte aus \(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\operatorname{Spur}(A)\)  relativ leicht berechnen.

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danke! das klappt.

Answer 1

Eine mehrfache Nullstelle ist auch eine Nullstelle der Ableitung.

Man kann daher die Nullstellen der Ableitung bestimmen und schauen,

ob diese Nullstellen des Polynoms sind.

Bis auf den leidigen (-1)-Faktor ist die Ableitung \(3(\lambda-3)(\lambda+9)\).

Also ist \(\lambda=-9\) eine Eigenwert der alg. Vielfachheit 2.

Answer 2

Bei der Vielfachheit kann auch helfen, dass eine doppelte

Nullstelle eines Polynoms immer auch eine Nullstelle

der Ableitung ist.