Charakteristisches Polynom und Eigenwerte bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in M(4,4 ; \mathbb{R}) \) gegeben durch

A := \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \).

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom \( \chi_{A}(X) \), sowie die Eigenwerte von \( A \).
b) Bestimmen Sie für jeden Eigenwert \( \lambda \) von \( A \) die algebraische und geometrische Vielfachheit.
c) Entscheiden Sie, ob \( A \) diagonalisierbar ist und geben Sie ggf. die Diagonalmatrix \( D=S^{-1} A S \) explizit an.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss. Ich wäre über eine Lösung mit Erklärung sehr dankbar

Comments

Ich habe hier leider keinen Ansatz

Das kann ich nicht nachvollziehen. In deiner Vorlesung
oder in deinen Unterlagen wurde das charakteristische
Polynom einer Matrix ganz sicher explizit
definiert!

Answer 1

Betrachte

|A -λ id| = 0

Zeile 3 += Zeile2, Zeile4 += Zeile3

\(\scriptsize \left|\begin{array}{rrrr}-\lambda + 2&0&0&0\\0&-\lambda + 2&0&0\\0&0&-\lambda + 1&3\\0&0&0&\frac{-\lambda^{2} + 2 \; \lambda + 2}{\lambda - 1}\\\end{array}\right| =0\)

==> Eigenwerte

==> einsetzen (A -λ id)=0

LGSe lösen

==> Eigenvektoren

in Matrix S schreiben - fertig - ist diagonalisierbar

Answer 2

Ich habe als charakteristisches Polynom

\((X-2)^2(X^2-2X-2)\) heraus:

\(2\) ist daher ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit=2.

Die beiden anderen Eigenwerte sind \(1\pm\sqrt{3}\)

Da die Matrix \(A-2E_4\) den Rang 2 hat, ist

die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 2 gleich

seiner alg. Vielfachheit. Daher ist die Matrix diagonalisierbar.