Charakteristisches Polynom und Eigenwerte einer 3x3 Matrix schnell berechnen

Question

Ich habe eine kurze Frage:

Ich habe folgende Matrix:

A=((-3,2,-4),(-4,3,-2),(2,-1,4)) und davon soll ich jetzt das charakteristische Polynom und die Eigenwerte berechnen. Ich weiß an sich schon wie man das macht, allerdings muss ich ja egal ob ich den Laplace Satz oder die Regel von Sarrus verwende immer die erste Nullstelle erraten. Gibt es eine Vorgehensweise, wie ich das umgehen kann und die Eigenwerte direkt ablesen kann? Und ist es generell empfehlenswert bei einer 3x3 matrix die Regel von sarrus zu verwenden?

Answer 1

wann man welche Methode für die Berechnung von Determinaten nimmt, hängt auch ein Wenig von der Gestallt deiner Matrix ab. Eine Matrix, die viele Nullen enthält, lässt sich besonders gut und schnell mit Laplace berechnen. Bei deiner kannst du das auch machen, ist aber sogar aufwendiger, da du dadurch viele Untermatrizen erhältst, dessen Determinanten du einzeln berechnen müsstest. Nimm also lieber Sarrus.

Wenn du das charakteristische Polynom berechnen willst, bekommst du ja als Ergebnis dieses Polynom. Was man immer dabei probieren kann ist, sich das absolute Glied, also die Zahl ,,ohne Variable'', anzuschauen und ihre Teiler als Ratekandidaten zu probieren. Sonst musst du halt Raten. Bei manchen Polynomen ist es aber schon sehr offensichtlich, was die Nullstellen (Eigenwerte) sind. Hier ein Beispiel: https://mathelounge.de/552659/geben-sie-das-charakteristische-polynom-der-matrix-an

Und hier nochmal Sarrus

https://mathelounge.de/554306/determinanten-via-sarrus

Comments

Ah super danke, also dann komme ich bei einer Matrix ohne Nullen nicht um das Raten herum

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Ja. Es sei du hast eine 2x2 Matrix. Aber da ist ja die Sache schnell getan.

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Achso und manchmal kannst du auch etwas Glück haben, dass du kein absolutes Glied hast und du so ein t ausklammern kannst. Zum Beispiel

$$ P_A(t)=t^3-t^2+2t=t(t^2-t+2) $$