Eigenwerte 3x3 Matrix

Question

Hallo mein Problem ist es das ich sowohl bei Sarrus oder Laplace das zusammenfassen nicht hinkriege mit Online Rechner etc. bekomme ich immer eine zusammengefasstes char. Polynom aber die einzelnen schritte wie ich dort hingelange sind mir unklar. Wenn einer von euch es mir mal ausführlich nieder schreiben würde Schritt für Schritt wäre ich ihm sehr dankbar.

Aufgabe: Bestimmen Sie die Eigenwerte folgender Matrix

2	-3	1
3	1	3
-5	2	-4

Problem/Ansatz:

Mit der Regel von Sarrus komme ich so weit:

=(2-λ)*(1-λ)*(-4-λ)+45+6+5*(1-λ)-6*(2-λ)+9*(-4-λ)

Comments

Um die nervige "Vorzeichenpest" loszuwerden betrachte
das normierte charakteristische Polynom \(det(\lambda\cdot I_3-A)\)

Answer 1

Hallo,

Regel via Sarrus:(hier Eigenwerte)

nach:

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

du schreibst die 1 und 2 Spalte rechts daneben

2-λ       -3            1        2-λ      -3

3         1-λ           3         3        1-λ

-5         2           -4-λ      -5        2

dann analog den Strichen in dem Bild verfahren:

rote Striche addieren und die blauen auch addieren, dann rot minus blau rechnen

=(2-λ)(1-λ)(-4-λ) + (-3) *3 *(-5) + 1*3*2  -((-5) *(1-λ) *1 + 2*3 *(2-λ) +(-4-λ) *3 *(-3))

=(2-λ)(1-λ)(-4-λ) + 45 +6  -((-5) *(1-λ)  + 6 *(2-λ) +(-4-λ) (-9))

=(2-λ)(1-λ)(-4-λ) + 51  -(-5 +5λ  +12-6λ +36+9λ)

=(2-λ)(1-λ)(-4-λ) + 51  +5 -5λ  -12+6λ -36-9λ

=(2-λ)(1-λ)(-4-λ) + 51  -43 -8λ

=  - λ^3 -λ^2+10λ-8  +8 -8λ

=  - λ^3 -λ^2+2λ 

--------->- λ^3 -λ^2+2λ =0

λ^3 -λ^2+2λ =0

λ(-λ^2 -λ+2 )=0

---->

λ1=0

λ2=1

λ3=-2

Comments

Sehr ausführlich danke erst mal bis dort hin komme ich auch aber

=(2-λ)(1-λ)(-4-λ) + 51  -43 -8λ   ab HIER wie ich zu den Restlichen schritten übergehe weiß ich nicht

=  - λ3 -λ2+10λ-8  +8 -8λ

=  - λ3 -λ2+2λ

---

=(2-λ)(1-λ)(-4-λ) + 51  -43 -8λ

=( 2 -2λ -λ +λ^2)(-4-λ) +8 -8λ

=( 2 -3λ +λ^2)(-4-λ) +8 -8λ

= -8 -2λ +12λ +3λ^2 -4 λ^2 -λ^3  +8 -8λ

= 2λ  - λ^2 -λ^3  

---

Danke und auf die Nullstellen komme ich wenn

= - λ³ -λ²+2λ=0

= λ(-λ² -λ+2 )=0

daraus folgt λ₁=0

λ_2/3= Mittels PQ Formel ? -λ=-1 für p und +2für q oder irre ich mich

---

-λ^2 -λ+2 )=0 |*(-1)

λ^2 +λ-2=0 ----->pq-Formel

λ2.3= -1/2 ±√(1/4 +2)

λ2.3= -1/2 ±3/2

λ₂= 1

λ₃=-2

Answer 2

Besser Zeilen/Spalten-Op (Gauss) zur Diagmatrix

(*)

|{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {1, 0, 1}} (A-λ id) {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {-1, 0, 1}}|=0

\(\left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 1&-3&1\\0&-\lambda + 1&3\\0&-1&-\lambda - 3\\\end{array}\right)\)

damit oder weiter mit

{{1, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 1,0}} {{1, 0, 0}, {0, 1, 1-l}, {0, 0,1}} (*)

(1-λ)(λ+2)λ=0

App dazu https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Comments

Das Verfahren verwirrt mich noch mehr.

---

Das sind Elementarmatrizen für Gauss schrittweise

Spalte 1 = Spalte 1-Spalte 3

\(\small   \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 2&-3&1\\3&-\lambda + 1&3\\-5&2&-\lambda - 4\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 1&-3&1\\0&-\lambda + 1&3\\\lambda - 1&2&-\lambda - 4\\\end{array}\right) \)

Zeile 3 = Zeile 3 + Zeile 1

\(\small \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 1&-3&1\\0&-\lambda + 1&3\\\lambda - 1&2&-\lambda - 4\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 1&-3&1\\0&-\lambda + 1&3\\0&-1&-\lambda - 3\\\end{array}\right) \)

Zeile 2 = Zeile2 + (1-λ)Zeile 3

\(\small \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-\lambda + 1\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 1&-3&1\\0&-\lambda + 1&3\\0&-1&-\lambda - 3\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 1&-3&1\\0&0&\lambda^{2} + 2 \; \lambda\\0&-1&-\lambda - 3\\\end{array}\right)  \)

Tausche 2,3 Zeile

Answer 3

Einfach ausmultiplizieren und zusammenfassen

(2 - k)·(1 - k)·(-4 - k) + 45 + 6 + 5·(1 - k) - 6·(2 - k) + 9·(-4 - k)

= (2 - k)·(k^2 + 3·k - 4) + 45 + 6 + 5 - 5·k - 12 + 6·k - 36 - 9·k

= - k^3 - k^2 + 10·k - 8 + 45 + 6 + 5 - 5·k - 12 + 6·k - 36 - 9·k

= - k^3 - k^2 + 2·k

= k·(1 - k)·(k + 2)