Die Eigenwerte einer Matrix bestimmen

Question

Hallo, ich soll von folgender Matrix die Eigenwerte bestimmen:

\( A:=\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)

Leider bin ich hier am verzweifeln. Es kommt als Ergebnis -λ^3+12*λ+16 raus.

Ich komme aber auf -λ^3-56*λ-56

Kann mir vielleicht jemand einen ausführlichen Rechenweg aufzeigen. Vielleicht habe ich den Fehler gemacht, auszumultiplizieren.

Answer 1

Willkommen hier:

Lösung gemäß Regel nach Sarrus:

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

Comments

Habe gerade mit deiner Vorlage nochmal nachgerechnet, jetzt weiß ich endlich wo mein Fehler lag. Vielen lieben Dank :)

Answer 2

Umformen

\(\small\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\1&-1&1\\\end{array}\right) \; \left(A-\lambda id\right) \; \left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

\(\small \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 1&-\lambda - 2&\lambda + 2\\3&-\lambda - 2&0\\-\lambda + 4&0&0\\\end{array}\right)\)

Comments

Also ich kann den Rechenschritt jetzt nicht nachvollziehen tut mir Leid

---

Umformen zur Dreiecksmatrix (Gauß-Algorithmus), damit die Determinante als Produkt der Diagonalelemente berechnet werden kann.

Kannst Du Matrizen multiplizieren?

Beispiele siehe https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/dc27zpw5

Matrizen (e_ij) Elementarmatrix i=Zeile, j=Spalte

rechts

e₁₃ = -1 ~ Spalte3 += Spalte 1 *(-1)

e₁₂ = 1 ~ Spalte2 += Spalte 1 *(1)

links

e₃₁ = 1 ~ Zeile 3 += Zeile 1 *(1)

e₃₂ = -1 ~ Zeile 3 += Zeile 2 *(-1)

Wenn so viele gleiche Elemente (6,3) in der Matrix sind, dann sollte man die "weg" machen...