Wie kann ich hier die Eigenwerte bestimmen?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich hier die Eigenwerte bestimmen?

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit dem faktorisieren am Ende.

Text erkannt:

\( C=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Die Eigenwerte erhältst du als Lösung der Gleichung:$$\operatorname{det}(C-\lambda\cdot\mathbf1)=0$$Das heißt, du musst auf der Hauptdiagonalen der Matrix \(\lambda\) subtrahieren und dann die Determinante gleich Null setzen:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrrr}-\lambda & 1 & 1 & 0\\1 & -\lambda & 0 & 1\\0 & 0 & \pink{1-\lambda} & 0\\0 & 0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|$$Wir entwickeln die Determinante nach dem pinken Wert, weil er in einer Zeile mit sonst nur Nullen steht. Nach der Schachbrettregel ist das Vorzeichen positiv:$$\phantom0=\pink{(1-\lambda)}\left|\begin{array}{rrrr}-\lambda & 1 & 0\\1 & -\lambda & 1\\0 & 0 &  \green{1-\lambda}\end{array}\right|$$Wir entwickeln weiter nach dem grünen Wert, weil auch in dieser Zeile sonst nur Nullen stehen. Nach der Schachbrettregel ist das Vorzeichen auch wieder positiv:$$\phantom0=\pink{(1-\lambda)}\green{(1-\lambda)}\left|\begin{array}{rrrr}-\lambda & 1\\1 & -\lambda\end{array}\right|$$Die 2x2-Determinante multiplizieren wir einfach "über Kreuz":$$\phantom0=\pink{(1-\lambda)}\green{(1-\lambda)}(\lambda^2-1)=\pink{(1-\lambda)}\green{(1-\lambda)}(\lambda-1)(\lambda+1)$$Wegen \((1-\lambda)(1-\lambda)=(1-\lambda)^2=(\lambda-1)^2\) können wir wie folgt zusammenfassen$$\phantom0=(\lambda-1)^3(\lambda+1)$$

Wir finden den dreifachen Eigenwert \(\lambda=1\) und den einfachen Eigenwert \(\lambda=-1\).

Answer 2

\(\small |A{-\lambda}E |\, :=  \, \left|\begin{array}{rrrr}-\lambda&1&1&0\\1&-\lambda&0&1\\0&0&-\lambda + 1&0\\0&0&1&-\lambda + 1\\\end{array}\right|\)

={{-λ, 1, 1, 0}+ λ {1, -λ, 0, 1}, {1, -λ, 0, 1}, {0, 0, -λ + 1, 0}-(1-λ) {0, 0, 1, -λ + 1}, {0, 0, 1, -λ + 1}}

\(\small = \left|\begin{array}{rrrr}0&-\lambda^{2} + 1&1&\lambda\\1&-\lambda&0&1\\0&0&0&-\left(-\lambda + 1 \right)^{2}\\0&0&1&-\lambda + 1\\\end{array}\right|\)

===>

( -λ² + 1) 1(-(-λ + 1)²) =0