Ja, das ist das charakteristische Polynom obiger Matrix.
Du musst ja einfach nur \( det( A - \lambda E ) \) berechnen, wobei A die obige Matrix ist, also
$$ det( A - \lambda E ) = det( \begin{bmatrix} 5 - \lambda & 0 & 1 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda \end{bmatrix} ) = \lambda ( \lambda - 5) (-1-\lambda )$$
Damit sind auch die Eigenwerte
\( \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = -1 \)
Die Eigenräume kriegst du jetzt, indem du die Lösungsmenge des homogenen LGS \( (A - \lambda_i E )x = o \) für \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) bestimmst.
Warum muss man diese Lösungsmengen bestimmen?
Weil nach Def. des Eigenwertes und Eigenvektors gilt \( Av = \lambda v \) mit \( v \neq o, \lambda \in \mathbb{ K } \), wenn v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert \( \lambda \) ist. Das kann man umformen:
$$Av = \lambda v \Leftrightarrow (A - \lambda E)v = o$$
Also ist die Lösungsmenge dieses LGS der Eigenraum zu \( \lambda \).