Eigenwert, Eigenvektor, charakteristische Polynom. L(x^2+x)= x+1, L(x+1)= 5x+5, L(x^2+1) = -x^2-1.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien der Vektorraum \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \), die lineare Abbildung \( L: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) sowie die folgenden Bilder von \( L \) :

\( L\left(x^{2}+x\right)=x+1, \quad L(x+1)=5 x+5, \quad L\left(x^{2}+1\right)=-x^{2}-1 \)

a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( L_{\mathcal{B}} \) von \( L \) bzgl. der Basis

\( \mathcal{B}=\left\{x+1, x^{2}+1, x^{2}+x\right\} . \)

b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von \( L \).

c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung L. Beachten Sie dabei, dass die Eigenräume Teilräume von \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) sind.

d) Ist \( L \) eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung?

Answer 1

Ja, das ist das charakteristische Polynom obiger Matrix.

Du musst ja einfach nur \( det( A - \lambda E ) \) berechnen, wobei A die obige Matrix ist, also

$$ det( A - \lambda E ) = det( \begin{bmatrix} 5 - \lambda & 0 & 1 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda \end{bmatrix} ) = \lambda ( \lambda - 5) (-1-\lambda )$$

Damit sind auch die Eigenwerte

\( \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = -1 \)

Die Eigenräume kriegst du jetzt, indem du die Lösungsmenge des homogenen LGS \( (A - \lambda_i E )x = o \) für \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) bestimmst.

Warum muss man diese Lösungsmengen bestimmen?

Weil nach Def. des Eigenwertes und Eigenvektors gilt \( Av = \lambda v \) mit \( v \neq o, \lambda \in \mathbb{ K } \), wenn v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert \( \lambda \) ist. Das kann man umformen:

$$Av = \lambda v \Leftrightarrow (A - \lambda E)v = o$$

Also ist die Lösungsmenge dieses LGS der Eigenraum zu \( \lambda \).

Comments

Ich habe bei der darstellenden matrix 0 0 0 ( 1 5 0 ) 0 0 -1 raus. was stimmt jetzt?

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Die darstellende Matrix habe ich nur von Gast jd13 übernommen und damit weitergemacht. War davon ausgegangen, dass sie richtig ist, ich weiss es aber nicht.

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Danke Thilo kann mir dann noch jemand sagen wie ich bestimmen kann ob meinen Lösung surjektiv injektiv oder bijektiv ist

Answer 2

Ich nenne die Basisvektoren \(e_1, e_2, e_3 \) in der reihenfolge in der sie in der Basis stehen. Damit ist L definiert durch: \( L(e_3)=e_1, L(e_1)=5e_1, L(e_2)=-e_2 \), also \( \begin{pmatrix} 5 & 0 & 1 \\ 0 & -1 &0 \\ 0 &0& 0 \end{pmatrix} \)

Comments

kannst du mir vielleicht verraten wie du da drauf gekommen bist komm irgendwie nicht dahinter was der rechenweh sein soll .S

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Ich verwende die Standardmethode zur Berechnung darstellender Matrizen, wie sie z.b hier https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix#Koordinatendarstellung_von_linearen_Abbildungen dargestellt ist, oder sicher auch in deinem Skript.

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ok das war ja gar nicht so schwer wie gedacht dann probiere ich mich jetzt mal an dem polynom danke schon mal

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dann müsste das polynom doch L(L-5)(-1-L) oder?

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Ich kann dir nicht folgen. In deinem Satz scheint ein Wort zu fehlen; "das polynom": welches meinst du? Was soll L(L-5) bedeuten? Die Verknüpfung der Abbildungen mit 5 = 5*id?

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charackteristisches Polynom meitne ich und L soll lamda heißen

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s.o.........................

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Ich finde das hier ganz große Umgangsform die Kommentare einer Antwort zu kapern um auf die eigene Antwort (auf eine Anschlussfrage!) zu verweisen. Insbesondere wenn die eigene Ahnung, so wie hier, eingschränkt ist.

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Nee, ich hatte nur die Antwort erst hier als Kommentar geschrieben und dann gemerkt, dass sie als Antwort besser taugt, weil sie auch noch auf die anderen Fragen eingeht. Deswegen habe ich sie hier wieder gelöscht und als Antwort gepostet. Deswegen s.o....................... ;)

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wie kommst du auf L(e3) = e1?

Ich komme auf L(e3) = 1/x, weil ich habe:

KB (L (KB^-1 (e3))) = KB (L (x²+x)) = KB (x+1) = KB (1/x (x²+x)) = ... = 1/x e3

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Wie ich auf \( L(e_3)=e_1\) komme? Das steht so - explizit - in der Angabe: \(L(x^2+x)=x+1 \) und wie geschrieben, ist \(x^2+x=e_3, x+1=e_1 \) 1/x ist kein Polynom, diesen Wert kann L nicht annehmen, egal was du rechnest (ich kann die Rechnung nicht lesen)