Ermitteln Sie den Eigenwert λ zum Eigenvektor v

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Matrix \( \mathbf{A} \) und ein Eigenvektor \( \vec{v} \) der Matrix \( \mathbf{A} \) mit
\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc} 9 & 1 & -2 & 8 \\ 1 & 9 & 8 & -2 \\ -8 & 2 & 9 & 1 \\ 2 & -8 & 1 & 9 \end{array}\right), \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) \)
Ermitteln Sie den Eigenwert \( \lambda \) zum Eigenvektor \( \vec{v} \).
\( \lambda= \)

Wie funktioniert diese Aufgabe?

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du nur eine Matrix-Multiplikation durchzuführen und das Ergebnis auf die Form der Eigenwert-Gleichung \(\left(A\cdot\vec v=\pink\lambda\cdot\vec v\right)\) zu bringen:$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}9 & 1 & -2 & 8\\1 & 9 & 8 & -2\\-8 & 2 & 9 & 1\\2 & -8 & 1 & 9\end{array}\right)}_A\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{r}-2\\2\\2\\-2\end{array}\right)}_{\vec v}=\left(\begin{array}{r}-36\\36\\36\\-36\end{array}\right)=\underbrace{\pink{18}}_{\pink\lambda}\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{r}-2\\2\\2\\-2\end{array}\right)}_{\vec v}$$

Der gesuche Eigenwert ist also \(\lambda=18\).