Zeigen Sie, dass v ein Eigenvektor von A - sEn zum Eigenwert λ -s ist.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper ,λ ∈ K und A ∈ Knxn.

a) Sei v ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ und s∈K. Zeigen Sie, dass v ein Eigenvektor von A - sEn zum Eigenwert λ -s ist.

b) Seu nun A GLn(K) und v ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ. Zeigen Sie, dass dann v auch Eigenvektor von A^{-1} zum Eigenwert \( \frac{1}{λ} \) ist.

Comments

Hallo,

Du brauchst für a) und b) jeweils nur die Formeln für die Aussagen aufstellen - also zum Beispiel: Was bedeutet v ist EV zu A mit EW \(\lambda\) - und dann die beiden Formeln miteinander vergleichen.

Gruß

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Das aufstellen habe ich auch soweit verstanden aber wie soll ich diese miteinander vergleichen ?

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Schreib doch mal hierhin, was Du hast

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um den EW und EV zu bestimmen hatten wir

Av=λv

löse (A-λE)v=0

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Hallo

jetzt schreib doch wie vorgeschlagen das mit A - sEn hin  wobei En und E dasselbe ist

Gruß lul

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v ist der EV

λ-s ist der EW

(A-sEn)v=0

dh. A-(λ-s)E=....

Answer 1

a)  Sei v ein Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ und s∈K.

Zum Nachweis der Behauptung betrachte

     (A - sE_n) * v = A*v - sE_n*v    #

Nach Vor ist A*v  = λ*v und die Einheitsmatrix mal v gibt v

also gilt

                  #        = λ*v  - s*v

                           = (λ  - s)*v

 Also ist v ein Eigenvektor von A - sE_n zum Eigenwert λ -s ist.

b)             A*v = λ*v   von links mal A^(-1) gibt

A^(-1)   (A*v ) = A^(-1) *  λ*v

   ( A^(-1) *A )*v =   λ * A^(-1) *v

Da A ∈ GLn(K)   gilt λ ≠ 0

            E_n*v =   λ * A^(-1) *v

               v =  λ * A^(-1) *v

Da A ∈ GLn(K)  gilt λ ≠ 0 also geht

             v =  λ * A^(-1) *v       | *1/λ

     1/λ  *  v =  A^(-1) *v

D.h. v ist EV zum EW   1/λ