Aloha :)
Da ich aus deinen Kommentaren gelesen habe, dass du Schwierigkeiten beim Ausrechnen hast, führe ich die Rechenschritte ausführlich vor. Das hilft dir vermutlich am meisten. Gesucht sind Eigenwerte (EW) und Eingenvektoren (EV) zur folgenden Matrix:$$A:=\left(\begin{array}{c}5 & -1 & 2\\-1 & 5 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right)$$Zur Bestimmung der EW \(\lambda\) und der zugehörigen EV \(\vec x_\lambda\), musst du folgende Gleichung lösen:$$A\cdot\vec x_\lambda=\lambda\cdot\vec x_\lambda\quad\Leftrightarrow\quad A\cdot\vec x_\lambda-\lambda\cdot \vec x_\lambda=\vec 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(A-\lambda E\right)\cdot \vec x_\lambda=\vec 0$$Das der \(\vec 0\) als EV nicht zugelassen ist, suchen wir Vektoren \(\vec x_\lambda\ne\vec 0\), die diese Gleichung erfüllen. Solche Lösungen gibt es genau dann, wenn die Determinante der Matrix \((A-\lambda E)\) verschwindet, also gleich \(0\) wird:
$$A-E\lambda=\left(\begin{array}{c}5 & -1 & 2\\-1 & 5 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right)-\lambda\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5-\lambda & -1 & 2\\-1 & 5-\lambda & 2\\2 & 2 & 2-\lambda\end{array}\right)$$Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Spalte:
$$|A-\lambda E|=(5-\lambda)\left|\begin{array}{c}5-\lambda & 2\\2 & 2-\lambda\end{array}\right|-(-1)\left|\begin{array}{c}-1 & 2\\2 & 2-\lambda\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{c}-1 & 2\\5-\lambda & 2\end{array}\right|$$$$\phantom{|A-\lambda E|}=(5-\lambda)[\underbrace{(5-\lambda)(2-\lambda)}_{=10-2\lambda-5\lambda+\lambda^2}-4]+[\underbrace{-(2-\lambda)-4}_{=-2+\lambda-4}]+2[\underbrace{-2-2(5-\lambda)}_{=-2-10+2\lambda}]$$$$\phantom{|A-\lambda E|}=(5-\lambda)[\underbrace{\lambda^2-7\lambda+6}_{=(\lambda-6)(\lambda-1)}]+[\lambda-6]+2[\underbrace{2\lambda-12}_{=2(\lambda-6)}]$$$$\phantom{|A-\lambda E|}=(5-\lambda)(\lambda-6)(\lambda-1)+5(\lambda-6)$$$$\phantom{|A-\lambda E|}=(\lambda-6)\left[(5-\lambda)(\lambda-1)+5\right]$$$$\phantom{|A-\lambda E|}=(\lambda-6)[(5\lambda-\lambda^2-5+\lambda)+5]$$$$\phantom{|A-\lambda E|}=(\lambda-6)[6\lambda-\lambda^2]$$$$\phantom{|A-\lambda E|}=(\lambda-6)\cdot\lambda[6-\lambda]$$$$\phantom{|A-\lambda E|}=-\lambda(\lambda-6)^2$$Die drei EW sind daher: $$\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=6\quad;\quad\lambda_3=6$$Für die Basis des Eigenraums benötigst du die EV:
$$\lambda=0\;\;\Rightarrow\;\;\left(\begin{array}{c}5-\lambda & -1 & 2\\-1 & 5-\lambda & 2\\2 & 2 & 2-\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5 & -1 & 2\\-1 & 5 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}5 & -1 & 2\\-1 & 5 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right)\begin{array}{l}{+5Z_2}\\{}\\{+2Z_2}\end{array}\mapsto\left(\begin{array}{c}0 & 24 & 12\\-1 & 5 & 2\\0 & 12 & 6\end{array}\right)\begin{array}{l}{-2Z_3}\\{\cdot(-1)}\\{:6}\end{array}\mapsto\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0\\1 & -5 & -2\\0 & 2 & 1\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{+2Z_3}\\{}\end{array}$$$$\mapsto\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\0 & 2 & 1\end{array}\right)\mapsto\left\{\begin{array}{c}{}\\x-y&=&0\\2y+z&=&0\end{array}\right.\mapsto\left\{\begin{array}{c}{}\\x&=&y\\y&=&-\frac{1}{2}z\end{array}\right.$$Wir können \(z\) beliebig wählen, dann sind jedoch \(x\) und \(y\) festgelegt. Mit der Wahl \(z=-2\) finden wir:$$\vec x_1=\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\2\end{array}\right)$$Beachte, dass jedes Vielfache von \(x_1\) wieder EV zu \(\lambda=0\) ist.
$$\lambda=6\;\;\Rightarrow\;\;\left(\begin{array}{c}5-\lambda & -1 & 2\\-1 & 5-\lambda & 2\\2 & 2 & 2-\lambda\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1 & -1 & 2\\-1 & -1 & 2\\2 & 2 & -4\end{array}\right)$$Hier ist keine große Rechnung nötig, man erkennt sofort, dass alle 3 Zeilen der Matrix zueinander äquivalent sind. Die Bedinung an die EV zu \(\lambda=6\) sind daher:$$-x-y+2z=0$$Wir können 2 Komponenten frei wählen, die dritte ist dann aber durch diese Bedinung bestimmt. Mit \(x=0,y=2\) finden wir \(z=1\). Und mit \(x=2,y=0\) finden wir ebenfalls \(z=1\). 2 mögliche EV zu \(\lambda=6\) sind daher:$$\vec x_2=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)\quad;\quad\vec x_3=\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)$$Die 3 Eigenvektoren bilden eine Basis des Eigenraums.
