Charakteristische Polynom einer 3x3 Matrix

Question

Aufgabe:

Hallo, ich soll das charakteristische Polynom und Eigenwerte folgender Matrix bestimmen, jedoch komme ich bei der Berechnung irgendwie immer durcheinander und erhalte nicht die richtigen Eigenwerte. Könnte mir jemand behilflich sein und die Rechnung mit λ detailliert aufschreiben?

A =

1	0	1
0	1	1
1	0	1

Answer 1

Geschickter Weise addiert man die 3. Zeile zur 1. Zeile und erhält oben links a₁₁ = 0, dann stehen die Eigenwerte in der Diagonalen

\(\small \left(\begin{array}{rrr}0&0&-\lambda^{2} + 2 \; \lambda\\0&-\lambda + 1&1\\1&0&-\lambda + 1\\\end{array}\right)  \)

Answer 2

\(\det(XE_3-A)=\)

Nach der 2-ten Spalte entwickelt:

\(=(X-1)\left|\begin{array}{cc}X-1&-1\\-1&X-1\end{array}\right|=X(X-1)(X-2)\).