Das charakteristische Polynom der Matrix

Question

Aufgabe:

Seien a0, a1, . . . , an−1 ∈ R. Zeigen Sie: Das charakteristische Polynom der Matrix

0 0 0 . . . 0 −a0
1 0 0 . . . 0 −a1
0 1 0 . . . 0 −a2
.. .. .. . . . .. ..
0 0 0 . . . 1 −an−1

∈ ℝ^n×n ist Tⁿ + a_n−1Tⁿ⁻¹ + . . . + a₁T + a₀.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Das char. Pol. der Matrix M ergibt sich ja durch det ( x*E-M), also die

Determinaten von

x  0 0 . . . 0 a0
-1  x 0 . . . 0 a1
 0 -1 x . . . 0 a2
.. .. .. . . . .. ..
0 0 0 . . .    x-1+a_n−1  

wenn du die nach der ersten Zeile entwickelst, erhältst du

x*D1  + (-1)ⁿ⁺¹*a_o*D2     #

wobei D1 und D2 die entsprechenden Unterdeterminanten sind.

Und D1 ist dann (wie bei der vollständigen Induktion

(in die Form sollte man es wohl bringen))

\(  T^{n-1} + a_{n-1} \cdot T^{n-2} + \dots +a_2T+ a_1 \)

und die Matrix für D2 sieht so aus :

Hauptdiagonale alles -1 und unterhalb davon nur 0en,

also D2=(-1)^n-1 . Damit kannst du # zusammenfassen zu

\(  T \cdot( T^{n-1} + a_{n-1} \cdot T^{n-2} + \dots +a_2T+ a_1) +(-1)^{n+1} \cdot a_0 \cdot (-1)^{n+1}\)

\(  T^{n} + a_{n-1} \cdot T^{n-1} + \dots +a_2 \cdot T^2+ a_1\cdot T + a_0 \)

Das musst du nur noch in die klassische Form der vollst. Induktion bringen.