Wie leite ich einen Term ab, der die e-Funktion im Exponenten hat?

Question

Folgender Term soll abgeleitet werden:

\( 2^{2+e^{2x}} \)

Folgende Lösung liegt mir vor:

ln(2) * \( e^{2x} \) * \( 2^{e^{2x}+3} \)

Wie ergibt sich ln(2)? Könnte jemand die Ableitung schritt für schritt verständlich herleiten? :)

Die normale Ableitung von \( e^{x} \) mit der Kettenregel habe ich verstanden, aber bei dieser Aufgabe (wenn e im Exponent steht) komme ich einfach nicht weiter. Am Mittwoch schreibe ich Klausur, wär toll, wenn ihr mir helfen könntet :)

Comments

Zum Ableiten musst du zuerst zur Basis e wechseln.

a^u=e^{ln(a)*u}

Mit a=2 also

2^u=e^{ln(2)*u}

:-)

Answer 1

Hallo,

eine Exponentialfunktion mit beliebiger Basis kannst du so ableiten:

\(f(x)=a^{u(x)}\\ f'(x)=ln(a)\cdot a^{u(x)}\cdot u'(x)\)

hier:

\(f(x)=2^{e^{2x}+2}\\ f'(x)=ln(2)\cdot 2^{e^{2x}+2}\cdot 2e^{2x}\\ =ln(2)\cdot e^{2x}\cdot 2^{e^{2x}+2}\cdot 2^1\\ =ln(2)\cdot e^{2x}\cdot 2^{e^{2x}+3}\)

Gruß, Silvia

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Deine Formel hat schon viel Licht ins dunkel gebracht :)

Man nimmt also den ln() der Basis multipliziert diesen mit dem gesamten Term und nachdifferenziert durch die Ableitung der inneren Funktion bzw. des Exponenten, korrekt?

Jedoch erschließt sich mir noch nicht, wie man in der zweiten Zeile der Ableitung auf die \( 2^{1} \) kommt...

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Ja, so ist es richtig.

Du kannst auch nicht auf 2^1 kommen, weil ich in der 1. Zeile eine 2 vergessen habe. Schau es dir nochmal an, ich habe es korrigiert.

Answer 2

$$2^{2+e^{2x}} = 4\cdot \left(e^{x}\right)^2 $$ Sieht nach Kettenregel oder Produktregel aus.

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Oha, das ist natürlich Quatsch.

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Kann mir dann bitte jemand erklären, wie es funktioniert? :(