Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die erste Kugel weiß ist?

Question

Aufgabe:

Aus einem Behälter mit 2 schwarzen und 2 weißen Kugeln werden nacheinander, ohne Zurücklegen, zwei Kugeln gezogen. Die erste Kugel wird vorläufig versteckt. Die zweite Kugel ist weiß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die erste Kugel weiß ist?

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass das Ergebnis 33% ist, aber nicht wie ich rechnerisch zur Lösung komme. die 33% kommen von den 1/3, soll ich mir einfach die vorstellen dass beim ersten Zug ein weißer Kugel rausgezogen wurde und somit die Wahrscheinlichkeit für den übrig bleibenden einen Kugel ausrechnen?

Answer 1

Wenn du ohne Zurücklegen Kugeln ziehst, dann verändert sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem Zug. Du kannst in diesem Fall auch annehmen, daß die weiße Kugel zuerst gezogen wurde. Dann bleibt für die "versteckte" Kugel nur mehr die Wahrscheinlichkeit 1/3 (1 weiße aus gesamt noch 3 Kugeln). Dieses 1/3 ist natürlich NUR für die "2. weiße"Kugel, NICHT für "2 weiße Kugeln", da wäre die Wahrscheinlichkeit 2/4*1/3

Answer 2

Hier meine Idee: $$P_{.W}(W.)=\dfrac{P(W.\cap .W)}{P(.W)}=\dfrac{\dfrac{2}{\:12\:}}{\dfrac{2}{4}}=\dfrac{1}{3}$$ (Möglicherweise ist es einfacher, sich vorzustellen, die zweite Kugel zuerst zu ziehen.)

Answer 3

Du kannst das auch mit einem Baumdiagramm lösen.

Ebene 1: Wahrscheinlichkeit bei 2w und 2s eine weiße oder eine schwarze zu ziehen ist 1/2.

Ebene 2 s gezogen: 1/3 für weitere s, 2/3 für w. Ebene 2 w gezogen: 1/3 für weitere w, 2/3 für s

P(w|w) = (1/2*1/3)/(1/2*1/3+1/2*2/3) = 1/3  ... #günstige/#ungünstige

1/2*1/3 ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades bei dem du wie gewünscht erst eine weiße und dann nochmal eine weiße Kugel gezogen hast. Jetzt musst du das aber durch alle möglichen Pfade dividieren, bei denen eine weiße Kugel beim zweiten Mal gezogen werden kann.

	1/2		1/2
	s		w
1/3	2/3		2/3	1/3
s	w		s	w

Comments

edit: es sollte #günstige/#mögliche (also günstige pfade durch die summe aller pfade) heißen.