Aloha :)
Die Standardabweichung ist viel zu hoch, das kann nicht stimmen. Setzt man jedoch nicht die Standardabweichung auf \(250\), sondern die Varianz, macht alles Sinn. Daher gehe ich im Flogenden davon aus, dass die Varianz 250 ist...
1) Wir fassen erstmal die Aufgabenstellung zusammen:
a) Das Durchschnittsalter \(X\) der Mitarbeiter ist 50 Jahre: \(\left<X\right>=50\).
b) Die Varianz beträgt 250 Jahre: \(V(X)=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=250\).
c) Anzahl der Mitarbeiter für diese Werte: \(n_x=6\).
d) Änderungen der Belegschaft: \(-60,-65,-65,+20,+20\).
2) Wir berechnen die Summe der \(x_i\) und die Summe der \(x_i^2\) aus den alten Werten:$$\sum\limits_{i=1}^6x_i=n_x\left<X\right>=6\cdot50=300$$$$\sum\limits_{i=1}^6x_i^2=n_x\left<X^2\right>=n_x\left(V(X)+\left<X\right>^2\right)=6\cdot(250+50^2)=16\,500$$
3) Wir rechnen die Summe \(y_i\) und die Summe \(y_i^2\) für die neue Belegschaft:$$\sum\limits_{i=1}^5y_i=\sum\limits_{i=1}^6x_i-60-65-65+20+20=150$$$$\sum\limits_{i=1}^5y_i^2=\sum\limits_{i=1}^6x_i^2-60^2-65^2-65^2+20^2+20^2=5250$$
4) Das Durschschnittsalter der neuen Belegschaft beträgt also$$\left<Y\right>=\frac{1}{5}\sum\limits_{i=1}^5y_i=\frac{1}{5}\cdot150=30$$und die Varianz ist:$$V(Y)=\left<Y^2\right>-\left<Y\right>^2=\frac{1}{5}\sum\limits_{i=1}^5y_i^2-\left<Y\right>^2=\frac{1}{5}\cdot5250-30^2=150$$
