Hallo :-)
Du musst das gegebene Problem in ein sogenanntes Fixpunktproblem überführen, d.h. eine Fixpunktgleichung aufstellen. Das kann zb so aussehen:
Definiere die Abbildung
$$ F:\space \overline{B_1(0)}\to \mathbb{R^2},\space \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\mapsto \space \begin{pmatrix}\frac{1}{8}\sin(x+y)-\frac{1}{2}x+\frac{1}{18}y^2\\[10pt]\frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2-y \end{pmatrix} $$
Jetzt ist also die Gleichung \(F\left(\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\) zu lösen.
Überführung in ein Fixpunktproblem:
\(\frac{1}{8}\sin(x+y)-\frac{1}{2}x+\frac{1}{18}y^2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\sin(x+y)+\frac{1}{9}y^2\\[10pt]\frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2-y=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2\)
Daraus definiert man die Abbildung
$$ \phi:\space \overline{B_1(0)}\to \mathbb{R^2},\space \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\mapsto \space \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\sin(x+y)+\frac{1}{9}y^2\\[10pt]\frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2 \end{pmatrix} $$
und die zugehörige Rekursion:
$$ \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1} \end{pmatrix}=\phi\left(\begin{pmatrix}x_n\\y_n \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\sin(x_n+y_n)+\frac{1}{9}y^2\\[10pt]\frac{1}{10}\cos(x_n^2y_n)+\frac{1}{10}x_n^2 \end{pmatrix} $$
Jetzt sind zwei Dinge zu zeigen (Aussagen des Banachschen Fixpunktsatzes):
1.) \(\phi\) ist eine Kontraktion:
\(\qquad \exists \space 0\leq L<1\space\space \forall \space v,w\in \overline{B_1(0)}:\space \|\phi(v)-\phi(w)\|_1\leq L\cdot \|v-w\|_1\)
Das \(L\) findet man am besten, indem man erstmal \(\|\phi(v)-\phi(w)\|_1\) geschickt nachoben abschätzt und man ,,sehen" kann, wie man \(0\leq L<1\) wählen kann.
2.) \(\phi\) ist eine Selbstabbildung.
