Banachscher Fixpunktsatz Abschätzung

Question

Aufgabe:

Sei \( a \in \mathbb{R} \) und \( c \in[0,1) \). Zeigen Sie, dass es genau eine stetig differenzierbare Funktion \( f:[0, c] \rightarrow \mathbb{R} \) gibt mit \( f(0)=a \) und \( f^{\prime}(x)=\sin (f(x)) \) für alle \( x \in[0, c] \).

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe wollte ich mit dem Banachschen Fixpunktsatz lösen, komme jedoch mit der Abschätzung nicht weiter.

Ansatz:

Die Abbildung \( T: x \rightarrow x, f \mapsto T(f) \), definiert durch
\( T(f):[0, c] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto T(f)(x):=a+\int \limits_{0}^{x} \sin (f(t)) d t \text {, } \)
ist kontrahierend:
Seien f,g \( \in X \), für alle \( x \in[0, c] \) gilt dann \( x \)
\( \begin{array}{l} \mid T(f)(x)-T(g)(x))|=| a+\int \limits_{0}^{x} \sin (f(t)) d t-\left(a+\int \limits_{0}^{x} \sin (g(t)) d t \mid\right. \\ =\left|\int \limits_{0}^{x} \sin (f(t)) d t-\int \limits_{0}^{x} \sin (g(t)) d t\right|=\left|\int \limits_{0}^{x} \sin (f(t))-\sin (g(t)) d t\right| \end{array} \)

Am Ende soll ja etwas mit |f-g| rauskommen, allerdings weiß ich nicht, wie man da den Sinus abschätzen kann. Kann mir jemand weiterhelfen? LG :-)

Comments

Beachte den Hinweis zu Deiner anderen Frage: Mittelwertsatz

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Soweit ich weiß, sollen wir diese Aufgabe mit dem banachschen Fixpunktsatz lösen, nicht wie früher mit dem Mittelwertsatz. Im Skript gab es zwei ähnliche Aufgabenbeispiele zu dieser Art von Differenzialgleichungen. Man schätzt den Ausdruck im Integral immer so lange ab, bis man so etwas wie \( \int\limits_{0}^{x} \) |f(t)-g(t)| = xd(f,g) herausbekommt, x aus 0,c. Damit ist dann nach dem banachschen Fixpunktsatz gegeben, dass es eine solche geforderte Funktion gibt. Ich habe Probleme mit der Abschätzung und weiß nicht, wie man hier den MWS benutzen sollte.

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Naja

$$|\sin(p)-\sin(q)|=|\cos(r)(p-q)| \leq |p-q|$$

(mit einem Zwischenwert r)

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Super, genau sowas hab ich gesucht, ich probiers dann mal weiter. Dankeschön :-)