Aufgabe:
Sei \( a \in \mathbb{R} \) und \( c \in[0,1) \). Zeigen Sie, dass es genau eine stetig differenzierbare Funktion \( f:[0, c] \rightarrow \mathbb{R} \) gibt mit \( f(0)=a \) und \( f^{\prime}(x)=\sin (f(x)) \) für alle \( x \in[0, c] \).
Problem/Ansatz:
Die Aufgabe wollte ich mit dem Banachschen Fixpunktsatz lösen, komme jedoch mit der Abschätzung nicht weiter.
Ansatz:
Die Abbildung \( T: x \rightarrow x, f \mapsto T(f) \), definiert durch
\( T(f):[0, c] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto T(f)(x):=a+\int \limits_{0}^{x} \sin (f(t)) d t \text {, } \)
ist kontrahierend:
Seien f,g \( \in X \), für alle \( x \in[0, c] \) gilt dann \( x \)
\( \begin{array}{l} \mid T(f)(x)-T(g)(x))|=| a+\int \limits_{0}^{x} \sin (f(t)) d t-\left(a+\int \limits_{0}^{x} \sin (g(t)) d t \mid\right. \\ =\left|\int \limits_{0}^{x} \sin (f(t)) d t-\int \limits_{0}^{x} \sin (g(t)) d t\right|=\left|\int \limits_{0}^{x} \sin (f(t))-\sin (g(t)) d t\right| \end{array} \)
Am Ende soll ja etwas mit |f-g| rauskommen, allerdings weiß ich nicht, wie man da den Sinus abschätzen kann. Kann mir jemand weiterhelfen? LG :-)
