Metrische-, topologische zweizeiler, zeigen sie folgende Aussagen:...

Question

Aufgabe 2: (metrische und topologische Zweizeiler) Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum. Für jedes \( x \in X \) und jedes \( \epsilon>0 \) ist der offene \( \epsilon \) -Ball \( B(x, \epsilon) \) offen in der metrischen Topologie.

(b) Ein metrischer Raum mit der metrischen Topologie ist ein Hausdorff-Raum.

(c) in einem Hausdorff-Raum sind Grenzwerte von Folgen eindeutig

Also:

Bei (a) hätte ich jetzt folgendes gemacht:

Beweis:

Sei x∈Bε(x0). => d(x,x0)<ε => δ:=ε-d(x,x0)>0

Wir zeigen: B_δ(x)≤Bε(x0)

Sei y∈B_δ(x) => d(x,y)<δ

=> d(y,x0)≤d(y,x)+d(x,x0)<δ+d(x,x0)=ε

=> y∈Bε(x0)

q.e.d

Bei (b) hätte ich jetzt versucht mit dem radius einer metrik zu argumentieren, aber ich glaube das ist sehr weit daneben...

Und bei (c) blicke ich gar nicht durch iwie

Was ich mir wirklich sehr wünschen würde, ist: kann mir jemand sagen, ob die (a) richtig ist? Und wie lauten die Antworten für (b) und (c)?

Würde mich über eine Antwort sehr sehr freuen! :))

Comments

a) Du sollst zeigen dass offene Bälle offen sind? Und dafür zeigst du, dass jeder Punkt im offenen Ball einen offenen Ball als offene Umgebung besitzt?

Die erzeugte Topologie ist ja gerade duch die Menge der offenen Bälle als Basis definiert. Eigentlich ist da also nichts zu zeigen. eventuell Arbeitet ihr mit einer anderen Definition. Schlag das mal nach.

Dein Beweis ist in der jetzigen Form jedoch nicht sinnvoll, da du verwendest dass offene Bälle offen sind, um zu zeigen, dass offene Bälle offen sind.

b) Warum kannst du in einem metrischen Raum zu zwei Punkten x, y disjunkte Umgebungen finden? Du könntest also z.B. disjunkte offene Bälle um x und y suchen.

c) Was heißt denn Konvergenz? Dass heißt für alle ε>0 liegen alle bis auf endlich viele Folgenglieder im ε-Ball um den Grenzwert. Wenn du jetzt zwei unterschiedliche Grenzwerte hättest, wäre das nicht ein Widerspruch nach b) wenn man das ε klein genug macht?

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Stimmt.. ich danke dir.

Zu deiner letzten Frage; ich denke schon.

Deine Antwort hilft mir auf jeden Fall sehr gut weiter, ich habe genug Denkanstöße bekommen. Ich danke dir vielmals!

Würde mich freuen, wenn du die Antwort als eigene Antwort nochmal schreibst, damit ich es auszeichnen kann :) würde ich nämlich sehr gerne

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Hallo,

ich meine, dass die Kritik von M an der Lösung von a) nicht berechtigt ist, sondern Dr.S genau das getan hat, war erwartet wurde.

Der Punkt liegt darin, dass "offen" im Zusammenhang mit Bällen zweideutig ist:

"offener Ball": \(B(x,s):=\{y \mid (d(x,y) < s\}\)
"abgeschlossener Ball": \(B_a(x,s):=\{y \mid d(x,y) \leq s\}\)

D.h. "offen" und "abgeschlossen" bezieht sich hier zunächst auf die Definition der Bälle.

Nun kann man mit Hilfe der sog. "offenen Bälle" eine Topologie definieren. Dann kann man zeigen, dass die sog. "offenen Bälle" auch offen im Sinne der Topologie sind.

(Genau so wie offene Intervalle auch topologisch offen sind.

Gruß Mathhilf

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Danke Ihnen Herr Mathhilf! Dann weiß ich bescheid! :)

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Nun kann man mit Hilfe der sog. "offenen Bälle" eine Topologie definieren. Dann kann man zeigen, dass die sog. "offenen Bälle" auch offen im Sinne der Topologie sind.

Ein sehr verbreiteter Standardweg ist es, die Menge der "offenen Bälle" als Basis der Topologie zu wählen. Dann sind diese aber offensichtlich auch topologisch offen - Basismengen sind in der erzeugten Topologie immer offen - und es ist nichts zu zeigen.

Deshalb der Hinweis, dass der Fragesteller die Definition der Topologie nachschlagen und uns ggf. mitteilen soll.

Um zu zeigen dass \( B_\varepsilon(x) \) offen ist, wird in diesem Beweis versucht für jedes Element der Menge eine (offene) Umgebung anzugeben, die selbst in \( B_\varepsilon(x) \) liegt. Der Ansatz ist keineswegs verkehrt! Als Umgebung wird ein offener Ball \( B_\delta(y) \) verwendet. Um den verwenden zu können muss man aber entweder wissen, dass

a) offene Bälle offen im Sinne der Topologie sind, dann ist aber nichts zu zeigen.

Oder dass

b) offene Bälle Umgebungen der Mittelpunkte sind. Dann ist der Beweis korrekt.

Es kann natürlich sein dass hier die offenen Bälle als Umgebungsbasen der Topologie gewählt wurden. Das erscheint mir jedoch eher ungewöhnlich und unpraktisch.

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Ja, abschließend einig werden wir uns wohl erst, wenn der Fragesteller, auf Deine, M, frühere Frage nach der verwendeten Definition der "metrischen Topologie" antwortet.

Gruß Mathhilf

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Verzeiht mir, ich dachte das war ein Appell an mich die Definition für mich selsbt nochmal nachzuschlagen. Wenn die Definition nach der metrischen Topologie gefragt ist, lautet sie wie folgt:

\( \left(U_{\varepsilon}(x), U_{\varepsilon}^{d}(x)\right. \), offene \( \varepsilon \) -Umgebung,
offene \( \varepsilon \) -Kugel \( ) \)
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann setzen
wir für alle \( \mathrm{x} \in \mathrm{X} \) und \( \varepsilon>0 \) :
\( \mathrm{U}_{\varepsilon}(\mathrm{x})=\mathrm{U}_{\varepsilon}^{\mathrm{d}}(\mathrm{x})=\{\mathrm{y} \in \mathrm{X} \mid \mathrm{d}(\mathrm{x}, \mathrm{y})<\varepsilon\} \)
Die Menge \( \mathrm{U}_{\varepsilon}(\mathrm{x}) \) heißt die offene \( \varepsilon \) -Umgebung
von x oder die offene \( \varepsilon \) -Kugel um den Punkt x
\( \operatorname{im} \) Raum \( (\mathrm{X}, \mathrm{d}) \).

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"Verzeiht mir," - kein Grund, war nicht als Kritik gemeint. Nur: Die Diskussion von M und mir läuft auf die Frage hinaus: Wie ist die Definition von "Offene Menge" in einem metrischen Raum.

Gruß Mathhilf

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Achso okay, das sieht dann folgendermaßen aus:

Def:

Sei (x,d) ein metrischer Raum und sei M⊆X. M heißt offen :⇔ ∀x∈M∃ε>0: B_ε(x)⊆M

Allgemein gilt

Satz:

Sei (x,d) ein metrischer Raum, sei x₀∈X und ε>0. Dann gilt: B_ε(x₀) ist offen.

(Danach folgt ein Beweis)

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Ok, dann will ich nichts gesagt haben - mit dieser Definition ist der Beweis natürlich in Ordnung :)

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Gut, ich danke euch beiden nochmal! Freut mich sehr, dass ihr euch so sehr damit auseinandergesetzt habt :))

Lg