Reihe mit Integralkriterium auf Konvergenz prüfen

Question

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Aufgabe 18 (Pflicht aufgabe) Überprüfen Sie die folgenden Reihen mit dem Integralkriterium auf Konvergenz oder begründen Sie, warum sich das Integralkriterium nicht anwenden lässt:
a) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}$,
b) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (\pi n)}{n^{1 / 2}}$,
c) $\sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}$.

Problem/Ansatz:

Hat einer möglicherweise Lösungen zu diesen Aufgaben bzw. kann diese berechnen?

Verstehe das Integralkriterium und die Voraussetzungen dafür bei Reihen überhaupt nicht, sprich ich finde keine guten Erklärungen oder Beispiele.

Ich hoffe ihr könnt helfen!

Mit freundlichen Grüßen!

Answer 1

Aloha :)

Zur Anwendung des Integralkriteriums muss $f(x)$ in $[n_0;\infty)$ monoton fallend sein und darf nur nicht-negative Werte annehmen, d.h. $f'(x)\le0$ und $f(x)\ge0$.

zu a) $\quad f(x)=x^2e^{-x^3}\quad;\quad x\in[1;\infty)$

Wir prüfen die Voraussetzungen:$$f(x)=x^2\cdot e^{-x^2}>0\quad\checkmark$$$$f'(x)=2xe^{-x^3}-3x^4e^{-x^3}=xe^{-x^3}(2-3x^3)<0\quad\checkmark$$Daher können wir das Integralkriterium anwenden:$$\sum\limits_{n=2}^\infty n^2e^{-n^3}\le\int\limits_1^\infty x^2e^{-x^3}dx=\left[-\frac{1}{3}e^{-x^3}\right]_1^\infty=\frac{1}{3e}\implies\sum\limits_{n=1}^\infty n^2e^{-n^3}\le\frac{1}{e}+\frac{1}{3e}<\infty$$

zu b) Hier kann das Integralkriterium nicht angewendet werden, da wegen $\cos(n\pi)=(-1)^n$ das Vorzeichen der Summanden ständig wechselt, sodass die Nicht-Negativität als Voraussetzung verletzt ist.

zu c) $\quad f(x)=\frac{1}{x\ln x}\quad;\quad x\in[2;\infty)$

Wir prüfen wieder die Voraussetzungen:$$f(x)=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}>0\quad\checkmark$$$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}\cdot\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{\ln^2x}\cdot\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{\ln^2x}\right)<0\quad\checkmark$$Daher können wir das Integralkriterium anwenden:$$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}\ge\int\limits_2^\infty\frac{1}{x\ln x}\,dx=\left[\ln(\ln x)\right]_2^\infty\to\infty\quad\implies\quad\text{Divergenz!}$$

Comments

Vielen dank!

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bei a) ist doch ein kleiner Fehler sehe ich.

Du hast die e Funktion hoch x hoch 2 statt hoch 3 oder irre ich mich?

Dann sollte auch wieder ein kleinerer wert als Null rauskommen oder? also wäre das auf das Kriterium nicht anwendbar.

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okay hab mich doch geirrt stellt sich raus ich bin bisschen verpeilt danke trotzdem!

Answer 2

Hallo

ich finde in wikipedia ist das kurz und gut, mit Beispielen erklärt,

https://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

wenn du das nicht verstehst sage wo es hakt.

wenn du die Integrale nicht lösen oder abschätzen kannst nimm einen Integralrechner aus dem Netz

Gruß lul