Aloha :)
Zur Anwendung des Integralkriteriums muss \(f(x)\) in \([n_0;\infty)\) monoton fallend sein und darf nur nicht-negative Werte annehmen, d.h. \(f'(x)\le0\) und \(f(x)\ge0\).
zu a) \(\quad f(x)=x^2e^{-x^3}\quad;\quad x\in[1;\infty)\)
Wir prüfen die Voraussetzungen:$$f(x)=x^2\cdot e^{-x^2}>0\quad\checkmark$$$$f'(x)=2xe^{-x^3}-3x^4e^{-x^3}=xe^{-x^3}(2-3x^3)<0\quad\checkmark$$Daher können wir das Integralkriterium anwenden:$$\sum\limits_{n=2}^\infty n^2e^{-n^3}\le\int\limits_1^\infty x^2e^{-x^3}dx=\left[-\frac{1}{3}e^{-x^3}\right]_1^\infty=\frac{1}{3e}\implies\sum\limits_{n=1}^\infty n^2e^{-n^3}\le\frac{1}{e}+\frac{1}{3e}<\infty$$
zu b) Hier kann das Integralkriterium nicht angewendet werden, da wegen \(\cos(n\pi)=(-1)^n\) das Vorzeichen der Summanden ständig wechselt, sodass die Nicht-Negativität als Voraussetzung verletzt ist.
zu c) \(\quad f(x)=\frac{1}{x\ln x}\quad;\quad x\in[2;\infty)\)
Wir prüfen wieder die Voraussetzungen:$$f(x)=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}>0\quad\checkmark$$$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}\cdot\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{\ln^2x}\cdot\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{\ln^2x}\right)<0\quad\checkmark$$Daher können wir das Integralkriterium anwenden:$$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}\ge\int\limits_2^\infty\frac{1}{x\ln x}\,dx=\left[\ln(\ln x)\right]_2^\infty\to\infty\quad\implies\quad\text{Divergenz!}$$
