Berechne seinen Radius r und seine Höhe h .

Question

Aufgabe:

Es sollen zylindrische Joghurtbecher mit \( 220 \mathrm{~cm}^{3} \) Inhalt hergestellt werden, die mit einem Aluminiumdeckel verschlossen werden. Der Preis für Aluminiumblech ist \( 0.50 \mathrm{Rp} \). pro \( \mathrm{cm}^{2} \), für den verwendeten Plastik \( 0.10 \) Rp. pro \( \mathrm{cm}^{2} \). Wie gross sind unter diesen Annahmen der Radius und die Höhe des Bechers zu wählen, damit die Materialkosten minimal werden?

Problem/Ansatz:

Ich habe mit der Oberflächenformel gerechnet, aber ich bin auf dem Holzweg. Kann mir jemand bitte seinen Lösungsweg mit der Lösung verraten. Damit ich es verstehen kann.

Answer 1

Aus Plastik ist die Mantelfläche und die Kreisfläche unten.

Aus Alu ist die Kreisfläche oben.

Zielfunktion: Preis(r, h) = (2 Pi r * h + Pi r²) * 0,1   +   (Pi r²) * 0,5

Nebenbedingung: Volumen = Pi r² h = 220    ⇒    h = 220 / (Pi r²)

Zu minimieren ist also

Preis(r) = (2 Pi r * 220 / (Pi r²) + Pi r²) * 0,1  +  (Pi r²) * 0,5

= \( \frac{3}{5} \) Pi r² + 44 r^-1

\( \frac{d}{dr} \) Preis(r) = \( \frac{6}{5} \) Pi r - 44 r^-2 = 0    ⇒    r ≈ 2,26833 cm

Comments

Wow, vielen herzlichen Dank und wie finde ich die Höhe heraus?

---

Oh, habe es gerade gesehen es wäre 220/ π×2.26²  oder?

---

Die Formel dazu steht in der vierten Zeile meiner Antwort, und du hast falsch gerundet und die Klammern um den Divisor vergessen.

---

Aber sonst würde es stimmen?

---

Wenn es nicht falsch wäre, dann wäre es richtig, ja.

Answer 2

V= 220= r^2*pi*h

h= 220/(r^2*pi)

Kosten K(r,h) = (2*r^2*pi*h+r^2*pi)*0,1 +r^2*pi*0,5

K(r) = (440/r+r^2*pi)*0.1 +r^2*pi*0,5 = 44/r+0,6r^2*pi

K '(r) =0

-44/r^2 +1,2r*pi =0

-44+1,2r^3*pi=0

r^3= 44/(1,2*pi)

r= (44/(1,2*pi)) ^(1(3) = 2,27 cm

h= 13,59 cm

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+%28440%2Fr%2Br%5E2*pi%29*0.1+%2Br%5E2*pi*0.5+