Warum ist hier beim limes unendlich minus unendlich gleich minus unendlich und nicht null?

Question

Aufgabe:

\( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{4} \underbrace{-\underbrace{2 x^{n}}_{\rightarrow+\infty}}_{\rightarrow-\infty}=-\infty \)

Problem/Ansatz:

Hallo, warum ist hier beim limes unendlich minus unendlich gleich minus unendlich und nicht null?

Und kann man generell sagen, dass immer wenn beim limes unendlich minus unendlich da steht es immer minus unendlich ist?

Vielen Dank im Voraus.

LG

Answer 1

Das hängt doch von \( n \) ab.

Ist \( n < 4 \) ist der Grenzwert \(  +\infty\)

Ist \( n \ge 4 \) ist der Grenzwert \( -\infty\)

Comments

Ok, danke. Also hängt es generell vom Grad des ersten Polynoms ab was rauskommt?

Wenn x hoch 5 dastehen würde,

wäre es so:

Ist \( n < 5 \) ist der Grenzwert \(  +\infty\)

Ist \( n = 5 \) ist der Grenzwert \( 0 \)

und ist \( n > 5 \) ist der Grenzwert \( -\infty\)

Und was wäre, wenn bei beiden Polynomen hoch 1 dastehen würde, wäre es quasi 0?

LG

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1) Wenn das Polynom so aussieht \( x^5 - 2x^n = x^5 (1 - 2 x^{n-5}) \) dann geht der erste Faktor immer gegen \( +\infty\) aber der zweite Faktor ist von \( n \) abhängig. Ist \( n< 5 \) ist \( n-5 < 0 \) und \( x^{n-5} \) geht gegen \( 0 \) für \( x \to +\infty\)

Ist \( n = 5 \) ist der zweite Faktor \( 1- 2 x^{n-5} = -1 \)und deshalb geht der Ausdruck gegen \( -\infty \) und für \( x > 5 \) ist \( n -5 > 0 \) und \( 1-2x^{n-5} \) geht gegen \( - \infty \)

Wenn beim ersten Ausdruck hoch 1 steht, ist das identisch zu behandeln wie bei hoch 4 oder hoch 5.