Berechne den Durchmesser eines Fußballs.

Question

Aufgabe: Der Umfang eines Fußballs beträgt laut Regelwerk etwa 70cm.

a) Berechne den Durchmesser eines Fußballs. Im Jahr 2005 wurde das 68m x 105m große Spielfeld eines Stadions zu Werbezwecken mit Bällen ausgelegt. Wie viele Bälle wurden für diese Aktion benötigt?

b) Wie groß ist die Fläche, die von den Bällen verdeckt wurde?

c)Wie groß ist die Fläche, die zwischen vier Bällen noch sichtbar ist? Skizziere zuerst.

Problem/Ansatz:

und Anregungen zur Lösung der Aufgabe!

Answer 1

Der Umfang eines Fußballs beträgt laut Regelwerk etwa 70cm. Berechne den Durchmesser eines Fußballs.

Formel für den Umfang eines Kreises heraussuchen.

Gegebene Angaben einsetzen.

Gleichung lösen.

Im Jahr 2005 wurde das 68m x 105m große Spielfeld eines Stadions zu Werbezwecken mit Bällen ausgelegt. Wie viele Bälle wurden für diese Aktion benötigt?

Teile die Länge des Spielfeldes durch den Durchmesser eines Fußballs.

Teile die Breite des Spielfeldes durch den Durchmesser eines Fußballs.

Multipliziere die beiden Ergebnisse.

b) Wie groß ist die Fläche, die von den Bällen verdeckt wurde?

Formel für den Flächeninhalt eines Kreises heraussuchen.

Gegebene Angaben einsetzen.

Gleichung lösen.

Ergebnis mit der Anzahl der Fußbälle multiplizieren.

c)Wie groß ist die Fläche, die zwischen vier Bällen noch sichtbar ist?

Die Differenzzwischen dem Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge 70cm und dem Flächeninhalt eines Kreises mit Durchmesser 70cm.

Answer 2

Der Umfang ist 2r*pi, die Fläche (beim Querschnitt durch den Ball und der Annahme daß er kreisrund ist) r²*pi.

Daraus kannst du r ausrechnen. Wieviele von diesen Durchmessern passen in die Länge/Breite des Fußballfeldes (68m/2r bzw. 105m/2r).

b) Rechne die Fläche des Fußballfeldes (68*105) und vergleiche sie mit der Fläche der Bälle (Anzahl*r²*pi)

c) für den Platz zwischen den Bällen wirst du beim Zeichnen bemerken, daß in der Mitte eine von 4 Kreis-Vierteln begrenzte Fläche bleibt. Wenn du nur das Quadrat betrachtest, hast (ich nehme jetzt einen ganzzahligen Radius an, damit der Unterschied einfacher zu sehen ist - du mußt dann natürlich mit dem "echten" Radius rechnen) du bei einem gedachten Radius von 2 eine Fläche des Feldes von 8*8 (je 2 Durchmesser), der Kreise von 4*r²*pi. Die Differenz dieser beiden sind die "leeren" Flächen. Ich nenne die mittlere Fläche x, dann hast du noch rechts-links-oben- unten davon x/2 und in den Ecken x/4...Die Differenz geteilt durch die Summe dieser x (x+4*x/2+4*x/4) gibt die Fläche in der Mitte.

Answer 3

a) Das Regelwerk für die Herren-Bundesliga schreibt Bälle mit einem Radius von ca. 22 cm vor. also ist der Durchmesser 44 cm.

Dann liegen auf 68 m etwa 68/0,44=154 Bälle und auf 105 m etwa 105/0,44 = 238 Bälle, Das Feld wird dann von 154·23=36652 Bällen bedeckt.

b) Die von den Bällen verdeckte Fläche ist dann 0,22²·π·36652≈5573 m².

c) Die zwischen 4 Fußbällen noch freie Fläche ist jeweils 0,44²-π·0,22²≈0,04 m².

Comments

Das Regelwerk für die Herren-Bundesliga schreibt Bälle mit einem Radius von ca. 22 cm vor. also ist der Durchmesser 44 cm.

Meinst du die Herren-Bundesliga im Land der Riesen? ;-)

Ich würde stattdessen empfehlen, von einem Ballumfang von 70cm auszugehen, so wie im Aufgabentext angegeben.

Answer 4

Ich befürchte, es werden mehr Bälle benötigt als hier vorgerechnet wurde, je nach dem wie die Bälle zu liegen kommen.

Comments

Wenn man die linke Skizze nimmt, macht die Frage

c) Wie groß ist die Fläche, die zwischen vier Bällen noch sichtbar ist?

nicht so viel Sinn. Ich würde daher auch eher die rechte Skizze annehmen.

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Im linken Fall besteht sie halt aus zwei Teilen.