Zeigen Sie, für alle X e IR, sowie n E IN, dass gilt: sin^{2n+1} x=a1 sin(x) + a3 sin(3x)+…+a2n+1 sin(2n+1)x. u.a.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

(a) Für alle \( x \in \mathbb{R} \) ist \( \sin ^{3} x=\frac{1}{4}(3 \sin x-\sin 3 x) \).

(b) Ist \( n \in \mathbb{N} \), so gibt es reelle Zahlen \( a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{2 n+1} \), so dass für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt:
\( \sin ^{2 n+1} x=a_{1} \sin x+a_{3} \sin 3 x+\ldots+a_{2 n+1} \sin (2 n+1) x \)

(c) Ist \( n \in \mathbb{N} \), so gibt es reelle Zahlen \( b_{1}, b_{3}, b_{5}, \ldots, b_{2 n+1} \), so dass für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt:
\( \sin (2 n+1) x=b_{1} \sin x+b_{3} \sin ^{3} x+\ldots b_{2 n+1} \sin ^{2 n+1} x \)

Comments

b) und c) sehen nach Induktion aus :P

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Bei a) kannst du die Formeln aus der Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/8353/zeigen-dass-alle-reellen-zahlen-gilt-sin-cos-cos-cos²x-sin²x

Bestimmt brauchen.

sin(3x) = sin(x + 2x)            |Additionstheorem für sin

= sin(x) * cos (2x) + cos(x) sin(2x)

Jetzt die Formeln aus der angegebenen Aufgabe einsetzen und berücksichtigen, dass mit Hilfe von

sin²(x) + cos²(x) = 1         jeder cos im Prinzip als sin ausgedrückt werden kann.

Bei b) und c) handelt es sich um ungerade Exponenten der Sinusfunktion und ungerade 'Frequenzen'. Versuch das mal mit einem Induktionsbeweis.

 

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@ hanswurst5000

ich denke solche kommentare kann man sich einfach sparen. auch wenn es immerhin ein tip ist, so kann man wenigstens noch erklärungen dazu geben und einfach noch nen smiley hinschreiben.

es werden hier nicht grundlos fragen gestellt nur um dann solche antworten zu bekommen, die einem fast nicht weiterhelfen

Answer 1

Das ist jetzt mal Aufgabe a)

sin(3x) = sin(x + 2x)            |Additionstheorem für sin

= sin(x) * cos (2x) + cos(x) sin(2x)                |Doppelwinkelformeln

= sin(x)*(cos² x   - sin² x) + cos x * 2 cos x sinx

= sinx (3 cos² x - sin² x)

= sinx ( 3 - 3sin² x - sin² x)

= 3 sinx - 4 sin³ x                  |+sin(3x) + 4 sin³ x , :4

Umformen auf 

sin³ x = 1/4 (3 sin x - sin(3x))     q.e.d. a)

Comments

Bei b) bin ich an einer Stelle stehen geblieben und weiss nicht weiter. Kann jemand mit der Lösung helfen?

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@Hat3r : Dann brauchst du vielleicht nicht mehr die ganze Umformung. Wie weit bist du denn bei b)?

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Keine Ahnung ob ich das richtig mache. Da kommt so was wie sin^2n+1+a(2n+3)*sin(2n+3) und ...?

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Also: Das x sollte nicht aus dem Argument des sinus verschwinden.

Aber als Resultat des Induktionsschritts:

 sin^{2n+3} x = sin^{2n+1} x +a(2n+3)*sin((2n+3)x)

sieht ganz gut aus. Genau das brauchst du da am Schluss auch.

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Dieses x habe ich vergessen. Ja ok aber was kann ich jetzt machen um zu zeigen dass das das gleiche ist?

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Ich bin da noch nicht fertig: Aber, wenn du die noch nicht benutzt hast solltest du ev. Das Additionstheorem für Sinus und dann die Doppelwinkelformeln benutzen.

sin((2n+3)x) = sin((2n+1)x + 2x)

=sin((2n+1)x)cos(2x) + (cos(2n+1)x)sin(2x)

… Hab halt gedacht, du hast das schon. Ohne Gewähr, dass da was Schlaues draus wird.

Gemäss Aufgabenstellung dürfen sich übrigens die ganzen Koeffizienten a_m ändern. Das sollte dich nicht stören.

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wie kommst du von sin((2n+3)x) auf sin((2x+1)+2x)?

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Zu Aufgabe b)

Was hier folgt ist derzeit leider eine Mischung von Aufgabe b) und c)

Zeigt aber eigentlich etwas umständlich, wie man c) beweisen kann.

Dröselt das bitte selbst noch auf:

Verankerung n=1: sin x = sin x, und n=2 vgl. Aufg. a)

Induktionsschritt:

Vor: \( \sin ^{2 n+1} x=a_{1} \sin x+a_{3} \sin ^{3} x+\ldots+a_{2 n+1} \sin (2 n+1) x \)
Zu zeigen: \( \sin ^{2 n+3} x=\sin ^{2 n+1} x \sin ^{2} x=b_{1} \sin x+b_{3} \sin ^{3} x+\ldots+b_{2 n+3} \sin (2 n+3) x \)
Beweis: \( \sin ^{2 n+3} x=\sin ^{2 n+1} x^{*} \sin ^{2} x= \)
\( \left(a_{1} \sin x+a_{3} \sin ^{3} x+\ldots+a_{2 n+1} \sin (2 n+1) x\right)^{*} \sin ^{2} x= \)

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Fortsetzung des Beweises:

Vor: \( \sin ^{2 n+1} x=a_{1} \sin x+a_{3} \sin ^{3} x+\ldots+a_{2 n+1} \sin (2 n+1) x \)
Zu zeigen: \( \sin ^{2 n+3} x=\sin ^{2 n+1} x \sin ^{2} x=b_{1} \sin x+b_{3} \sin ^{3} x+\ldots+b_{2 n+3} \sin (2 n+3) x \)
Beweis: \( \sin ^{2 n+3} x=\sin ^{2 n+1} x^{*} \sin ^{2} x= \)
\( \left(a_{1} \sin x+a_{3} \sin ^{3} x+\ldots+a_{2 n+1} \sin (2 n+1) x\right)^{*} \sin ^{2} x= \)
|Bild1
\( =a_{1} \sin ^{3} x+a_{3} \sin ^{5} x+\ldots a_{2 n-1} \sin ^{2 n+1} x+a_{2 n+1} \sin (2 n+1) x^{*} \sin ^{2} x= \)
=nur Summanden mit ungeraden Potenzen bis \( 2 n+1 \) von \( \sin x+ \) Rest Wir müssen nur noch den Rest ansehen!

Die beiden Formeln, die nun benutzt werden, stammen aus:

https://www.mathelounge.de/8353/zeigen-dass-alle-reellen-zahlen-gilt-sin-cos-cos-cos²x-sin²x

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Rest des Beweises:

Lassen da gleich noch den Koeffizienten \( \vec{a}_{2 n+1} \) weg, der kann spaeter immer noch eingesetzt werden Restrest \( \sin (2 n+1) x^{*} \sin ^{2} x=\mid \sin ^{2} x \) Formel aus aehnl. Fragen
\( \sin (2 n+1) x^{*} \frac{1}{2}(1-\cos 2 x)= \)
\( \frac{1}{2} \sin (2 n+1) x-\frac{1}{2} \sin (2 n+1) x^{*} \cos 2 x= \)
1. Teil kann gem \( \sqrt{\$} \) ss Induktionsvoraussetzung als Summe von ungeraden Potenzen von \( \sin x \) dargestellt werden. Die Aufg. reduziert sich zur Betrachtung des 2. Summanden. Wiederum ohne reeller Faktor. \( \sin (2 n+1) x^{*} \cos 2 x= \) | letzte Formel bei der aehnlichen Frage \( \frac{1}{2}(\sin (2 n+1-2) x+\sin (2 n+3) x)= \)
\( \left.\frac{1}{2} \sin (2 n-1) x+\frac{1}{2} \sin (2 n+3) x\right) \)
Wiederum kann der erste Teil nach Voraussetzung als Summe von ungeraden Potenzen von sin geschrieben werden. Der zweite Teil enthaelt nun die verlangte Funktion \( \sin (2 n+3) x \)
Wir haben gezeigt, dass die einfach noch einen reellen Faktor \( b_{2 n+3} \) bekommt. q.e.d.