Komplexe Zahlen: Körpereigenschaften

Question

Aufgabe: To enlarge the set of numbers for which a (square) root is available, it is convenient

to introduce the set C := R × R of complex numbers and to define an addition and a
multiplication +, · : C × C → C by setting
(x, y) + (u, v) := (x + u, y + v),
(x, y) · (u, v) := (xu − yv, xv + yu),
(x, y), (u, v) ∈ C,

Sei (C, +, ·) definiert wie wie oben;

(a) Zeigen Sie, dass +, · : C × C −→ C kommutativ sind, d. h. dass gilt

(x, y) + (u, v) = (u, v) + (x, y),        (x, y) · (u, v) = (u, v) · (x, y),                (x, y), (u, v) ∈ C.

(b) Zeigen Sie, dass (0, 0) ∈ C bzw. (1, 0) ∈ C die neutralen Elemente bzgl. + bzw. · sind.

(c) Zeigen Sie, dass das multiplikativ Inverse fur ( ¨ x, y) ∈ C \ { (0, 0) } gegeben ist als

(x, y)⁻¹ = (( x / x² + y² ),   (-y / x² + y²)) ∈ C

Problem/Ansatz:

suche die ganze Atnwort bitte

Comments

(x, y) + (u, v) = (u, v) + (x, y)

x, y) · (u, v) = (u, v) · (x, y)

Schreib hier z.B. beide Seiten gemäß Definition aus. Du darfst verwenden, dass die Addition und Multiplikation von reellen Zahlen kommutativ ist. Zwei Tupel sind gleich, wenn sie in jedem Eintrag übereinstimmen.

(b) Zeigen Sie, dass (0, 0) ∈ C bzw. (1, 0) ∈ C die neutralen Elemente bzgl. + bzw. · sind.

zz. ist (x,y) + (0,0) = (x,y) = (0,0) + (x,y) und (x,y) * (1,0) = (x,y) = (1,0) * (x,y)

einfach Definition einsetzen

(x, y)^(−1) = ( x / ( x^2 + y^2 ), -y / ( x^2 + y^2)) ∈ C

Hier erst einmal die Klammern richtig setzen. Anschließend

(x,y) * (x, y)^(−1) = (1,0) = (x, y)^(−1) * (x,y)

durch einsetzen der Definition nachrechnen.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort und gute Erklärung