Verkettung von Funktionen ungleiche Variablen

Question

Aufgabe:

Sei f(x, y) = x^2 + xy + y^2 und F(r, ϕ) = f(r cos(ϕ), r sin(ϕ)). Bestimmen Sie die
partiellen Ableitungen ∂F/∂r und ∂F/∂ϕ .

Problem/Ansatz:

Partielles Ableiten ist mir bekannt, allerdings weiß ich nicht wie ich anfangen soll, da F(r, ϕ) nicht die Variablen x, y enthält.

Muss man x und y mit r und  ϕ gleichsetzen?

Bitte nur einen Ansatz wenns geht ich will die Aufgabe selber lösen. Danke.

Answer 1

Aloha :)

Das ist ein typischer Patient für die Kettenregel:

$$\frac{\partial F(r;\varphi)}{\partial r}=\frac{\partial f(x(r,\varphi);y(r,\varphi))}{\partial r}=\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}\frac{\partial x(r;\varphi)}{\partial r}+\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}\frac{\partial y(r,\varphi)}{\partial r}$$$$=(2x+y)\cos\varphi+(x+2y)\sin\varphi$$$$=(2r\cos\varphi+r\sin\varphi)\cos\varphi+(r\cos\varphi+2r\sin\varphi)\sin\varphi$$$$=\cdots$$Jetzt probier die Ableitung nach \(\varphi\) mal alleine... Falls du Hilfe brauchst, bitte einfach in den Kommentaren melden.