Verkettung von Funktionen + Umkehrabbildung

Question

Aufgabe:

Sei f : M → N eine Abbildung. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine Umkehrabbildung f ^(−1) : N → M mit (f^(−1) ◦f)(x) = x für alle x ∈ M und (f ◦f^(−1))(y) = y für alle y ∈ N? Definieren Sie eine Bedingung und zeigen Sie das f genau dann eine Umkehrabbildung hat, wenn die Bedingung erfüllt ist.

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir die Aufgabe bitte lösen

Comments

Was hältst du davon, dass die Abbildung bijektiv sein muss?

Dazu müsste sie auch sowohl injektiv und als auch surjektiv sein.

Answer 1

Schau dir Funktionen an, die du in der Schule kennengelernt. Einige davon haben Umkehrabbildungen, andere nicht. Finde heraus welche warum.

Im Gegensatz zur Schule, wo oft der maximal mögliche Definitionsbereich verwendet wurde und ℝ als Wertebereich verwendet wurde, sind bei f : M → N Definitions- und Wertemenge explizit angegeben. Diese Mengen haben Einfluss auf die Existenz der Umkehrabbildung.

Schau dir auch noch mal die Definitionen von Injektivität, Surjektivität und Bijektivität an. Ich habe den Verdacht die haben etwas mit der Existenz der Umkehrabbildung zu tun.