Rang einer Matrix mit Parameter bestimmen.

Question

Aufgabe:

Ich möchte den Rang folgender Matrix bestimmen in Abhängigkeit von c∈ℝ:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & c & 0 \\ 2 & 10 & c+2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe sie jetzt so weit umgeformt:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & c \\ 0 & c+4 & 2 \end{pmatrix} \)

An sich wäre doch jetzt für c = -4 der Rang 3... aber was ist mit dem Rest den c annehmen kann. Muss ich hier noch weiter umformen? Vielleicht kann mir jemand weiter helfen.

Answer 1

Subtrahiere das \(c+4\)-fache der zweiten Zeile vom 6-fachen der dritten Zeile.

Answer 2

Hallo :-)

Du musst noch weiter umformen, bis du eine Dreiecksgestalt hast. Für \(c=-4\) gilt ja schonmal voller Rang. Schließe nun diesen Fall aus, um auf die Dreicksgestalt zu kommen.

Ansonsten kannst du ja mal alternativ die Determinante von \(A\) berechnen, falls du sie schon kennst und den Zusammenhang von von Determinante und Rang einer Matrix.

Answer 3

Aloha :)

Die Determinante der Matrix ist \(c^2+4c-12=(c-2)(c+6)\).

Daher hat die Matrix den vollen Rang \(3\) für \(c\ne2\) und \(c\ne-6\).

Für die Spziealfälle \(c=2\) und \(c=-6\) findest du die linearen Abhängigkeiten der Spaltenvektoren in deiner umgeformten Matrix mit einem Blick. In beiden Fällen verlierst du einen Freiheitsgrad, sodass der Rang der Matrix \(2\) ist.

Comments

Danke dir. Ich hab leider Determinanten noch nicht kennengelernt. Aber trotzdem eine gute Antwort. Danke ;) Oswald war eine Minute schneller, deshalb hatte ich schon die beste Antwort vergeben, aber du hättest sie auch verdient.