Rang einer Matrix mit Parameter p

Question

Aufgabe:

6 Matrizen

\( \begin{array}{l} A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 11 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 9 \end{array}\right) \text { I-I Gesuont ist der Rang der Hatrix } \\ =\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 2 & p \\ 2 & 5 & 1 & 9 \end{array}\right)^{I I-I}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & p-3 \\ 2 & 5 & 1 & 9 \end{array}\right)_{I I-2 I}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & p-3 \\ 0 & 1 & 3 & 6-p \end{array}\right) \\ \text { 2II-II }\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 2,-14 \\ 0 & 1 & 3 & 6-p \end{array}\right)_{2 \pi-I I}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 2,0-14 \\ 0 & 0 & 2 & 4-2 \rho \end{array}\right)_{\mathbb{I}-\pi I I} \\ =\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 2 p-14 \\ 0 & 0 & 0 & -4 p-10 \end{array}\right) \\ \rightarrow \operatorname{Rg}(A)=4 \\ \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich habe diese Aufgabe gerechnet und mir der Lösung nicht ganz sicher. Könnte mir hier jemand Feedback geben? Gesucht war der Rang der Matrix.

Answer 1

Aloha :)

Der Rang der Matrix hängt vom Parameter \(p\) ab. Wir bestimmen daher zuerst die Determinante der Matrix, denn wenn diese \(\ne0\) ist, sind alle Spaltenvektoren linear unabängig voneinander und die Matrix hat den vollen Rang \(4\):

$$\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 3\\1 & 4 & 3 & 11\\1 & 3 & 2 & p\\2 & 5 & 1 & 9\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}\red1 & 2-\red2 & -1+\red1 & 3-\red3\\\red1 & 4-\red2 & 3+\red1 & 11-\red3\\\red1 & 3-\red2 & 2+\red1 & p-\red3\\\red2 & 5-\red4 & 1+\red2 & 9-\red6\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & 4 & 8\\1 & 1 & 3 & p-3\\2 & 1 & 3 & 3\end{array}\right|$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=\left|\begin{array}{rrrr}2 & 4 & 8\\1 & 3 & p-3\\1 & 3 & 3\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{rrrr}\pink1 & \pink2 & \pink4\\1-\pink1 & 3-\pink2 & p-3-\pink4\\1-\pink1 & 3-\pink2 & 3-\pink4\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 4\\0 & 1 & p-7\\0 & 1 & -1\end{array}\right|$$$$\phantom{det(A)}=2\cdot\left(-1-(p-7)\right)=2\cdot(6-p)$$

Für \(p\ne6\) hat die Matrix also den vollen Rang \(4\).

Für \(p=6\) wird der letzte Spaltenvektor der Matrix linear von den anderen 3 abhängig. Dadurch verlieren wir eine Dimension in der Zielmenge und der Rang der Matrix beträgt nur noch \(3\).

Comments

Vielen Danke für die Antwort. Also zum ermitteln des Rangs bestimme ich immer die Determinante?

---

Determinante hilft nur zu entscheiden ob

bei n x n Matrix Rang=n oder Rang < n gilt.

---

Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das n-dimensionale Volumen an, das die Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufspannen. Wenn dieses Volumen von Null verschieden ist, wird der ganze \(n\)-dimensionale Raum abgedeckt und der Rang der Matrix ist \(n\).

Bei quadratischen Matrizen ist die Determinanten-Methode oft der schnellste Weg zur Entscheidung, ob die Matrix vollen Rang hat oder nicht. Gerade wenn irgendwelche Paramater \(p\) in der Matrix rumlaufen, kann man so schnell feststellen, für welche Werte von \(p\) die Determinante nicht vollen Rang hat und diese Werte dann gesondert untersuchen.

---

Okay, habe ich verstanden. Vielen Dank für eure Hilfe!

Answer 2

Wenn deine Umformungen stimmen, ist rang=4  ja

nur richtig, falls nicht gilt -4p-10=0.

Also für p=-2,5 ist dann rang=3.

Allerdings ist was falsch:

\( \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 11 \\ 1 & 3 & 2 & p \\ 2 & 5 & 1 & 9 \end{array} \right)\)

Richtig bis

\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & p-3 \\ 2 & 5 & 1 & 9 \end{array}\right)\)

Dann aber

\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & p-3 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right)\)

Jetzt siehst du schon: Für p=6 sind die beiden letzten Zeilen gleich. dann ist

also Rang=3, ansonsten Rang = 4.

Comments

Danke sehr :)