Finden Sie die Lösung x: [1, ∞) → R des Anfangswertproblems

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Lösung x: [1, ∞) → R des Anfangswertproblems

Problem/Ansatz:

\( x^{\prime}(t)+\frac{x(t)}{t}=(t-1)^{2}, t \in(1, \infty) \)
\( x(1)=0 \)

Answer 1

Hallo

die homogene Dgl mit Trennung der Variablen lösen, danach eine partikuläre Lösung der inhomogenen raten oder Variation der Konstanten .

Gruß lul

Answer 2

$$\begin{aligned}x^\prime(t)+\frac{x(t)}t&=(t-1)^2\\tx'(t)+x(t)&=t(t-1)^2\\\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\;tx(t)&=t^3-2t^2+t\\tx(t)&=\tfrac14t^4-\tfrac23t^3+\tfrac12t^2+c\\x(t)&=\tfrac14t^3-\tfrac23t^2+\tfrac12t+\tfrac ct.\end{aligned}$$$$x(1)=0\Longrightarrow c=-\tfrac1{12}.$$

Comments

Danke für eine schnelle Antwort!

Wie sind Sie aber auf die linke Seite der dritten Zeile gekommen?

tx^I ist gleich d/dt*t*x(t), was ist aber mit x(t) aus der zweiten Zeile passiert?

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Das \(t\) ist hier kein konstanter Faktor, der beim Ableiten erhalten bleibt.
Leite nach der Produktregel ab:$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\;t\cdot x(t)=x(t)\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\;t+t\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\;x(t)=x(t)+t\cdot x^\prime(t).$$

Answer 3

Hallo,

Lösung via "Variation der Konstanten".