Aloha :)
Die Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=x^4-8x^2+y^2+10y+17$$können wir an den Punkten mit verschwindendem Gradienten finden:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{4x^3-16x}{2y+10}=\binom{4x(x-2)(x+2)}{2(y+5)}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Daher haben wir folgende 3 Kandidaten:$$K_1(-2;-5)\quad;\quad K_2(0;-5)\quad;\quad K_3(2;5)$$
Die Definitheit der Hesse-Matrix$$H(x;y)=\begin{pmatrix}12x^2-16 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$bei den Kandidaten gibt Auskunft über die Art des Exremums:
$$H(-2;-5)=\begin{pmatrix}32 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\implies\text{EW}\colon\lambda_1=32>0\;;\;\lambda_2=2>0\implies\text{pos. def.}$$$$H(0;-5)=\begin{pmatrix}-16 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\implies\text{EW}\colon\lambda_1=-16<0\;;\;\lambda_2=2>0\implies\text{indefinit}$$$$H(2;-5)=\begin{pmatrix}32 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\implies\text{EW}\colon\lambda_1=32>0\;;\;\lambda_2=2>0\implies\text{pos. def.}$$
Bei \((-2;-5)\) und \((2;-5)\) liegt also jweils ein Minimum vor.
Der andere Kandidat ist kein Extremum.
