Bestimmen Sie: Funktionen mehrerer Variablen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f(x, y)=x^{4}-8 x^{2}+y^{2}+10 y+17 \). Bestimmen Sie:
die lokalen Extremwerte und deren Typ (Minimum/Maximum) sowie Sattelpunkte von \( f(x, y) \).

Answer 1

Aloha :)

Die Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=x^4-8x^2+y^2+10y+17$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{4x^3-16x}{2y+10}=\binom{4x(x^2-4)}{2(y+5)}=\binom{4x(x+2)(x-2)}{2(y+5)}$$Wir lesen drei Kandidaten ab:$$K_1(-2|-5)\quad;\quad K_2(0|-5)\quad;\quad K_3(2|-5)$$

Diese Kandidaten prüfen wir mit Hilfe der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}12x^2-16 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$Wegen der Diagonalgestalt können wir die beiden Eigenwerte direkt ablesen:$$\lambda_1=12x^2-16\quad;\quad \lambda_2=2$$

Für \(K_1\) sind \(\lambda_1=32\) und \(\lambda_2=2\) beide positiv\(\quad\implies\quad\text{Minimum}\)

Für \(K_2\) haben \(\lambda_1=-16\) und \(\lambda_2=2\) verschiedene Vorz.\(\quad\implies\quad\text{Sattelpunkt}\)

Für \(K_3\) sind \(\lambda_1=32\) und \(\lambda_2=2\) beide positiv\(\quad\implies\quad\text{Minimum}\)

Comments

Danke dir❤️❤️

LG

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bitte helfen mir bei A Fläche es ist eine schwierige Angelegenheit.

ich glaube 3 Integral aber sollen wir zuerst grenze nehmen oder wie.

LG

Answer 2

Hallo

bilde grad(f)=0 das gibt die kritischen Punkte, die Hessematrix entscheidet dann die Art.

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

Die Ergebnisse kannst Du selbst mit Wolfram Alpha kontrollieren:

stationary points \( \quad x^{4}-8 x^{2}+y^{2}+10 y+17 \)

Results:
\( x^{4}-8 x^{2}+y^{2}+10 y+17=-24 \) at \( (x, y)=(-2,-5) \quad \) (minimum)
\( x^{4}-8 x^{2}+y^{2}+10 y+17=-8 \) at \( (x, y)=(0,-5) \quad \) (saddle point)
\( x^{4}-8 x^{2}+y^{2}+10 y+17=-24 \) at \( (x, y)=(2,-5) \quad \) (minimum)