Berechnen aller rellen und komplexen Nullstellen eines Polynoms

Question

Berechnen alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms \( p \) mit
\( p(z)=z^{3}+9 \cdot z^{2}+40 \cdot z-50 \)

Kann mir wer die Nullstellen nennen ich kam auf (9,9-i, i+25) was komplett falsch ist

falls ihr mir die Nullstellen nennen könnte (Bitte erklären wie ihr darauf kamt)

Answer 1

Hallo,

durch Raten findest Du 1 als eine Lösung:

Führe dann eine Polynomdivision durch:

(z^3  +  9z^2  + 40z - 50) : (z - 1)  =  z^2 + 10z + 50 
z^3  - z^2           
—————————————————————————
      10z^2  + 40z - 50
      10z^2  - 10z    
      ——————————————————
              50z - 50
              50z - 50
              —————————
                      0

-------->

z^2 + 10z + 50 =0 ->pq-Formel

z1,2= -5 ±√(25 -50)

z1,2= -5 ±√-25 

z1,2= -5 ± 5i

Answer 2

Wenn du die Koeffizienten addierst, erhältst du Null, d.h. z =1 ist eine Lösung.

z³+9z²+40z-50

=z³-z²+10z-10z+50z-50

=(z-1)*z²+(z-1)*10z+(z-1)*50

=(z-1)*(z²+10z+50)

Jetzt noch z²+10z+50=0 lösen.

:-)

Answer 3

Weg dahin ist schon da.

Weg über die quadratische Ergänzung

z^2 + 10z + 50 =0

z^2 + 10z =-50

(z+5)^2=-50+25=25i^2|\( \sqrt{} \)

1.)z+5=5i

z₁=-5+5i

2.)z+5=-5i

z₂=-5-5i