Funktion pos semi indefinit? Hesse-Matrix falsch berechnet?

Question

Die Aufgabe war es die Nullstellen der ersten Ableitung zu bestimmen, die Hesse-Matrix zu bilden und zu bestimmen ob die Funktion in der Nullstelle pos. definit , neg. definit oder indefinit ist. Da meine Determinante im Punkt 0;0 jedoch zu 0 wird, ist die Funktion pos. semi definit!

Habe ich einen Fehler gemacht und R^2 => R nicht richtig verstanden? Oder ist es korrekt das die Funktion pos. semi definit ist?

f: R^2  => R

\( f(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{4} \)
\( f_{x}^{\prime}=2 x_{1} \quad 2 x_{1}=0 \Rightarrow x_{1}=0 \)
\( f_{x_{2}}^{\prime}=4 x_{2}^{3} \quad 4 x_{2}^{3}=0 \Rightarrow x_{2}=0 \)
Nullstelle (0;0)
Hesse- Matrix \( H_{f}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 12 x^{2}\end{array}\right) \)
\( \operatorname{det}\left(H_{g}\right)=2 \cdot 12 x^{2}=24 x^{2} \)
\( \ (0 ; 0) \Rightarrow \) pos. semidefinit

Answer 1

Hallo,

ich weiß nicht, was Dein Problem ist. Die Redewendung "Eine Funktion ist positiv definit" kenne ich nicht.

Jedenfalls ist die Hesse-Matrix von f im PUnkt (0,0) positiv semidefinit. Der didaktische Nährwert der Aufgabe besteht wohl darin, dass der Nullpunkt ein globales isoliertes Minimum von f ist, das aber nicht über die Hesse-Matrix erkannt werden kann, weil diese dort eben nur pos semidef ist.

Gruß Mathhilf