Dritte Ableitung einer Funktion

Question

Aufgabe:

Wie ist die dritte Ableitung von 3x*e^-0,25x

Problem/Ansatz:

f'''(x)0,188*e^-0,25x+0,188x*e^-0,25x*(-0,25)+e^-0,25x-1,5*e^-0,25x*(-0,25)

Sehr unübersichtlich aber ich bitte um eine Antwort

LG

Comments

Meinst Du 3x*e^-0,25x oder 3x*e^(-0,25x) ?

Answer 1

Aloha :)

Hier lohnt es sich, eine etwas allgemeinere Ableitung zuerst durchzuführen:$$\left(\,g(x)\cdot e^{-x/4}\,\right)'=g'(x)\cdot e^{-x/4}+g(x)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot e^{-x/4}=\left[g'(x)-\frac{g(x)}{4}\right]e^{-x/4}$$

Damit legen wir nun los. Vor der ersten Ableitung ist \(g(x)=3x\). Also ist:$$f'(x)=\left[3-\frac{3x}{4}\right]e^{-x/4}$$Vor der zweiten Ableitung ist \(g(x)=3-\frac{3x}{4}\). Also ist:$$f''(x)=\left[-\frac{3}{4}-\frac{3-\frac{3x}{4}}{4}\right]e^{-x/4}=\left[-\frac{3}{2}+\frac{3x}{16}\right]e^{-x/4}$$Vor der dritten Ableitung ist \(g(x)=-\frac{3}{2}+\frac{3x}{16}\). Also ist:$$f'''(x)=\left[\frac{3}{16}-\frac{-\frac{3}{2}+\frac{3x}{16}}{4}\right]e^{-x/4}=\left[\frac{9}{16}-\frac{3x}{64}\right]e^{-x/4}$$

Comments

Ich kann bei dieser Schreibweise nur schwer folgen, ist meine Lösung falsch?

Zusammengefasst:

f'''(x)= 0,188*e^-0,25x-0,047*e^-0,25x+e^-0,25*0,375*e^-0,25x

---

Wenn ich deine Lösung zusammenfasse, erhalte ich:$$0,48005 e^{-0,25 x} - 0,0366036x$$

Richtig ist aber:$$-0,046875\,x\,e^{-0,25x}+0,5625$$

Answer 2

Text erkannt:

\( f(x)=3 x \cdot e^{-0,25 x}=\frac{3 x}{e^{0,25 x}} \)
Ableitung mit der Quotientenregel:
\( f^{\prime}(x)=\frac{3 \cdot e^{0,25 x}-3 x \cdot e^{0,25 x} \cdot 0,25}{\left(e^{0,25 x}\right)^{2}}=\frac{3-0,75 x}{e^{0,25 x}} \)
\( f^{\prime} \cdot(x)=\frac{-0,75 \cdot e^{0,25 x}-0,25(3-0,75 x) e^{0,25 x}}{\left(e^{0,25 x}\right)^{2}}=\frac{-0,75-0,75+0,1875 x}{e^{0,25 x}}=\frac{-1,5+0,1875 x}{e^{0,25 x}} \)
\( f^{\prime} \cdot(x)=\frac{0,1875 \cdot e^{0,25 x}-0,25 \cdot(-1,5+0,1875 x) e^{0,25 x}}{\left(e^{0,25 x}\right)^{2}}=\frac{0,1875-0,25 \cdot(-1,5+0,1875 x)}{e^{0,25 x}}= \)
\( =\frac{0,5625-0,046875 x}{e^{0,25 x}}=(0,5625-0,046875 x) \cdot\left(e^{-0,25 x}\right) \)