Warum lautet das Ergebnis immer 1, wenn eine beliebige Zahl mit 0 potenziert wird?

Question

Wir möchten wissen, warum das Ergebnis immer 1 lautet, wenn eine beliebige Zahl mit 0 potenziert wird.

Answer 1

Du kennst sicher das Potenzgesetz

a^{n+1} = a^n * a^1      

Daraus folgt
a^{n+1}/a^1 = a^n 

Man rechnet also

a^{n+1} / a^1 = a^{n+1-1} = a^n

Analog
a^{n+1} / a^2 = a^{n+1-2} = a^{n-1}

usw. bis auch

a^{n+1} / a^{n+1} = a^ ((n+1)-(n+1)) = a^0

Hier steht nun links oben und unten dasselbe.

Daher muss

a^{n+1} / a^{n+1} = 1 sein.

Kombiniere nun die beiden Gleichungen, so bekommt du a^0 = 1.

Schliesse aber a=0 erst mal aus.
Weitere Infos z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Null_hoch_Null

Answer 2

Hi,

das ist eine Definition die sich als sehr nützlich erwiesen hat. So gilt zum Beispiel

$$1 = \frac{x^n}{x^n} = x^{n-n} = x^0$$

 

Grüße

Answer 3

Das ist so definiert worden, damit es mit den übrigen Potenzregeln "zusammenpasst".

Damit etwa folgende Gleichung für a ≠ 0 wahr ist,

1 = a ^k / a ^k = a ^k * a ^{- k} = a ^{k - k} = a ⁰

muss a ⁰ = 1 sein.

Probleme gibt es allerdings für a = 0: 0 ⁰  ist nicht eindeutig definiert.
Vieles spricht dafür, dass auch 0 ⁰ = 1 gelten sollte, etwa, damit die obige Gleichung auch für a = 0 gilt. Dann aber bekommt man anderweitige Probleme, denn dann müsste auch gelten:

1 / 0 ⁰ = ( 1 / 0 )⁰ = 1

Ein undefinierter Bruch müsste also in die nullte Potenz erhoben einen definierten Wert haben ...