Zeige, dass die Sehne P₁ P₂ über dem Parabelbogen von x² liegt (unter Anwendung des Strahlensatzes)

Question

Aufgabe:

Es seien P₁ (x₁ | y₁)  und P₂ (x₂ | y₂)  zwei beliebige Punkte der Parabel f (x)  =  x². Es ist zu zeigen, dass der Bogen der Parabel zwischen den Punkten P₁ und P₂ unterhalb der Sehne P₁ P₂ verläuft.
Zeige unter Verwendung des Strahlensatzes, dass für jedes x mit x₁ < x <  x₂ gilt: η >  x²  bzw. η –  x²  >  0.

η ist hier eine senkrechte Strecke von x mit x₁ < x <  x₂ zur Sehne P₁ P₂.

Problem/Ansatz:

Ich stehe völlig auf dem Schlauch, wie man das unter Verwendung es Strahlensatz zeigen kann.

Hoffe, hier hat jemand mehr den Durchblick^^

Vielen Dank vorab...

Comments

"η ist hier eine senkrechte Strecke von x mit x₁ < x <  x₂ zur Sehne P₁ P₂."

ist das so gemeint:

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Ja, die Originalzeichnung befindet sich zwar nur im positiven Bereich, aber für die Berechnung selbst ist das ja unerheblich.

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Dann ist η  die Länge des Lotes von einem Punkt (x|y) auf der Sehne P₁(x₁|x₁²) P₂(x₂|x₂²) mit x₁ < x <  x₂ auf die x-Achse.

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Ja genau, trotzdem kriege ich den Ansatz mit Strahlensatz nicht hin

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Vielleicht hilft dir diese Skizze:

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Wo kommen die -x1x2 an der Sehne her?

Muss ich jetzt quasi den Strahlensatz zwei Mal verwenden?

Answer 1

Wo kommen die -x₁x₂ an der Sehne her?

Die Sehne P₁P₂ liegt auf der Geraden mit der Gleichung y=(x₁+x₂)·x-x₁x₂. Diese hat den y-Achsenabschnitt -x₁x₂.

Muss ich jetzt quasi den Strahlensatz zwei Mal verwenden?

Vermutlich ja. Aber ich wollte nur einen möglichen Zugang darstellen. Ob er ausreicht, weiß ich nicht.

Comments

Muss ich jetzt quasi den Strahlensatz zwei Mal verwenden?    Vermutlich ja.

Nein, einmalige Anwendung reicht völlig aus, wenn man diese

Strahlensatzfigur verwendet (bei anderen Lagen von x_1 , x , x_2 entsprechend modifizieren), der Rest ist simple algebraische Umformung.