damit zu ihrer Herstellung möglichst wenig Blech gebraucht wird?

Question

Aufgabe:

Wie soll man eine zylindrische Konservenbüchse von \( V \) Litern Inhalt dimensionieren,
damit zu ihrer Herstellung möglichst wenig Blech gebraucht wird? (Geben Sie Radius
und Höhe an!)

Problem/Ansatz:

Geben Sie Radius
und Höhe an!

Answer 1

Aus

Oberfläche = Mantelfläche + 2 * Kreisfläche

Mantelfläche = Höhe * Umfang

Umfang = 2 π r

Kreisfläche = π r²

Volumen = Höhe * Kreisfläche

folgt

Oberfläche = 2 V/r + 2 π r² zu minimieren, ergibt r = \( \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}} \)

Answer 2

V= r^2*pi*h

h= V/(r^2*pi)

O= 2r^2*pi + 2r*pi*h

O(r)= 2r^2*pi+ 2r*pi*V/(r^2*pi) = 2r^2*pi+ 2V/r

O'(r)= 0

-> 4r*pi-2V/r^2 =0

4r^3*pi-2V=0

r= (V/2*pi))^(1/3)

Answer 3

Zylinder:

HB:

O(r,h)=2r^2*π+2*r*π*h soll minimal werden

NB: V=r^2π*h → h=\( \frac{V}{r^2π} \)

O(r)=2r^2*π+2*r*π*\( \frac{V}{r^2π} \)=2r^2*π+\( \frac{2V}{r} \)= \( \frac{2 r^3*π+2V}{r} \)

\( O^{\prime}(r)=\frac{6 \cdot r^{2} \cdot \pi \cdot r-\left(2 r^{3} \pi+2 V\right) \cdot 1}{r^{2}}=\frac{4 r^{3} \cdot \pi-2 V}{r^{2}} \)

\( \left(4 r^{3} \cdot \pi-2 V\right)=0 \)

\( 2 r^{3} \cdot \pi=V \)

\( r=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} \)

\( h=\ldots \)